第五章向量与空间解析几何当Ⅱ，//Ⅱ，时（见图5-37），有ABCn//n-A,BC2则BC_D若Ⅱ与Ⅱ,重合，贝A2B2C2Dz当Ⅱ，1Ⅱ，时（见图5-38），有nn2A,A2+B,B2+C,C2=0I n23n1211图5-37图5-38例5研究以下各组里两平面的位置关系，(1)1:-x+2y-z+1=0,I12:y+3z-/=0;(2)IIr:2x-y +z-1 =0,II2:-4x +2%-1=0解（1）因为Ⅱ，与Ⅱ,的法向量分别为m=（-1，2，－1），n2=（0，1，3），且1=1×0+2×11×3l1coso :V60+-1)2./12 +3/(-1)3+22故两平面相交，夹角为1=arccos/60(2)因为II,与Ⅱ,的法向量分别为n=（2，-1，1)，n2=（-4，2，-2），且2--1-1即对应坐标成比例2--2-4又M(1，1，0）EⅡ1，M(1，1，0）年II,，故两平面平行但不重合：例6求平面ⅡI，使其满足：(1）过z轴；（2）ⅡI与平面2x+y-/5==0的夹角为3解因为平面II过≥轴，可设其方程为Ax+By=0.又因为ⅡI与已知平面夹角为三，故3.1 2A +B+(-/5) ·0ITTcos23A2+B2+02/22+12+(-V5)2从而B=3A或B=所以23· 22-
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第二节平面及其方程I:x+3y=0或I：3x-y=0.例7一平面通过两点M,(1，1，1）和M2(0，1，-1)且垂直于平面x+y+z=0，求该平面方程，解M,M,=（0-1,1-1,-1-1)=（-1,0,-2），根据题意，可取n=MM,×n，其中n，为已知平面x+y+z=0的法向量，n，=（1，1，1），故kij0- 21=(2, - 1, - 1) n111因此所求平面方程为nt2(x - 1) - (y -1) -(z - 1)=0, 即2x - y -z= 0.Po2.点到平面的距离d-Pri,PP,设Po（xo，yo，zo）为平面Ax+By+Cz+D=0外的一点，在平面上任取一点P（%，y1，z）（见图5-39），则N点P.到平面的距离d就是PP在n（n=（A，B、C））上图5-39的投影的绝对值，即d=|Prj,P,P.2注意到Ax+By+Cz+D=0,故[A(x0 -x)+ B(yon.P,P.-) +C(z0 -z) 1d = IPrj, P,P1In]A2+B+C[Axo + Byo + Czo - Axi - Byk- Cz [Axo + Byo + Czo + D]JA?+ B?+ C?VA?+B2+ C比如，我们可以利用公式计算点Po(2，1，1）到平面x+y-z+1=0的距离：[2 +1 - 1 + 1l3=/3.V3+ 12 + (- 1)2例8求两平行平面Ⅱ:10x+2y-2z-5=0和Ⅱ2:5x+y-z-1=0之间的距离d.解可在平面Ⅱ，上任取一点，该点到平面Ⅱ，的距离即为这两平行平面间的距离，为此，在平面IⅡI，上取点（0，1，0），则3V31 10 ×0 +2 × 1 +( 2) ×0 - 5ldE6V108/102 + 22 + (- 2)2习题5-21.填空题.（1)过原点且与向量a=（3，1，－1）垂直的平面方程为（2）平面x+2+kz+1=0与向量a=（1，2.1）垂直，则k=（3)过点M(2，0，-1），且与向量a=（2，1，-1）、b=（3，0，4）平行的平面方程·23
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第五章向量与空间解析几何为2.指出下列平面位置的特点，并画出各平面，(1) 2x + z + 1 = 0;(2) y - z = 0;(3) x + 2y - z = 0;(4) 9y - 1 = 0;(5)x=0;(6) 2x + z = 03.求满足下列条件的平面方程.（1)过点M(1，1，1）且与平面3x-y+2z-1=0平行：（2）过点M(1，2，1）且同时与平面x+y-2z+1=0和2x-y+z=0垂直：（3)与x、、z轴的交点分别为（2，0，0），（0，-3，0）和（0，0，－1）；（4)通过x轴且经过点（1，2，一1）；（5）垂直于两平面x-y+z=1=0,2x+y+z+1=0且通过点（1,=1，1）；（6)平行于向量a=（2，1，=1）且在x轴、y轴上的截距依次为3和-2.4.求经过两点（4.0、-2）和（5，1，7）且与x轴平行的平面方程5.求过点A（1，1，-1）和原点且与平面4x+3y+z=1垂直的平面方程6.求过z轴和点M（-3，1.2）的平面方程，7.求过三点A(2，3，0）、B-2-3，4）和C(0，6.0）的平面方程.8.一平面过点A（1，－4，5）且在各坐标轴上的截距相等，求它的方程9.设平面过原点及点（6，-3，2）且与平面4x-y+2z=8垂直，求此平面方程10.求平行于平面6x+y+6z+5=0且与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程，+2=0的夹角为=11.若平面x+ky-2z=0与平面2x，求h的值4,12.求经过两点M（3，-2，9）和M2（-6，0，-4)且与平面2x-y+4z-8=0垂直的平面的方程，13.求平面5x-14y+2z8=0和x0y面的夹角，14.求通过：轴且与平面2%+y-/5z-7=0的夹角为号的平面的方程。215.推导两平行平面Ax+By+Cz+D.=0，i=1，2之间的距离公式；并求将两平行平面×-2y+z-2=0与x-2y+z-6=0之间距离分成1：3的平面方程16.证明：过不在一直线上三点（x，yi，2），i=1，2，3的平面方程为x--yz-x2-2-1-z=0,-x3-13-1并写出过（1，1，-1），（－2，-2，2），（1，-1，2）三点的平面方程.第三节直线及其方程【课前导读]在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，从而得到轨迹方程一一曲线方程的· 24-
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第三节直线及其方程概念，同样，在空间解析几何中，任何曲线都可以看作满足一定几何条件的动点的轨迹，动点的轨迹用方程组来表示，就得到曲线方程的概念，空间直线是最简单的空间曲线：在本节中我们将以向量为工具讨论空间直线一、空间直线一般方程任一空间直线L都可以看作是两个相交平面的交线（见图5-40）.若平面ⅡI，的方程为Ax+By+Cz+D,=0,平面I2的方程为Azx+B2y+Cz+D,=0,L则方程组(A,x +Biy + Ciz +D, = 0,(1)A2x+B2y+Cz+Dz=0表示空间直线L的方程，称为空间直线的一般方程。例1（1)求过点（-3，2，5），且分别与平面2x-y-5z=1y和x-4z=3平行的平面Ⅱ，与Ⅱ，的方程，(2）求平面ⅡI1与II，的交线方程解（1)先求过点（-3，2，5）且与已知平面平行的平面。图5-40平面Ⅱ，的法向量可取为n=（2，一1，-5），故过点（-3，2，5）且以n，为法向量的平面方程为II: 2(x +3) - (x-2) - 5(z - 5)= 0.平面Ⅱl，的法向量可取为n2=（1，0，4），故过点（-3，2，5）且以nz为法向量的平面方程为II2: ( + 3) = 4(z - 5) = 0.即 II1:2x - y - 5z + 33 =0,II2: x - 4z + 23 = 0.（2)所求直线的一般方程为-(2x-y-5z+33=0,(x-4z+23=0.二、对称式方程及参数方程由立体几何知道，过空间一点作平行于已知直线的直线是唯一的，因此，如果知道直线上一点及与直线平行的某一向量，那么该直线的位置也就完全确定，现在根据这个几何条件来建立直线的方程：如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为该直线的方向向量．直线上的任何一个向量都平行于方向向量，显然，一条直线的方向向量有无穷多个，它们之间互相平行。由于过空间一点可作且只能作一条直线平行于已知向量，故给定直线上的一点Mo（xo，Yo，zo）及一个方向向量s=（m，n，p），直线的位置就完全确定了（见图5-41）如果M（x，y，z）为直线1上任意一点，则MoM//s，即有· 25
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第五章向量与空间解析几何x-xo_y-o_z-zo(2)mnp式(2)是含有未知数x、y、≥的方程组：从上面推导可知，直线1上任意一点M（x，y，2）的坐标满足式（2）.反M.之，如果点M（x，y，z）不在直线上，那么向量M.M与s就-1不平行，于是点M（x，y，z）的坐标就不会满足式（2）由此可知此式即为直线的方程，称为直线的对称式方程，也图5-41称点向式方程.这里s=（m，n，p）的三个坐标m、n、P就称为方向数，而s的方向余弦就叫作该直线的方向余弦，x =xo +mt,若设-0—-20o=t，则有直线的参数方程=yo+nt，mnp[z = zo + pt.注在式（2）中，若有个别分母为零，应理解为相应的分子也为零，例如，㎡=0（n≠0，P≠0），即式(2)为x -x0版V-yo0n出时，上式应理解为0?x+y+z+1=0例2用点向式方程或参数方程表示直线(2x-y+3z+4=0.解令x=1，代入方程得Y+ z=-2,+3z=-6,解得y=0z=-2，即得到该直线上的一点M。（1，0，-2），由于直线的方向向量s与相交平面的法向量n，=（1，1，1），n2=（2，-1，3）都垂直，故可取ikj1111=(4, - 1, -3) ,s=n, Xn=23-1因此直线的点向式方程为x-1y2+241-3直线的参数方程为x =1 + 4t,y=-t,=-2-3t例3求过点A(1，0，1）和B（-2，1，1）的直线方程· 26-
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