第一节向量及其运算点，而在AB直线上的点M分有向线段AB为两个有向线段AM与MB，使它们的模的比AM等于某数入（入≠－1），即入，求分点M的坐AIMB|M标x、y和z解如图5-21所示，因为AM、MB在一直线上，故BAM = A MB.yC而AM=(x-xi,y-yi,z-zi),MB=(x2-x,y2-,22-2)，因此(x - xi, y - yi, z - z) = a(x2 - x, y2 - y, z2 - z) ,图 5-21即x -x, = A(x2 -x) ,y -i = A(y2 -y) ,z -z, = ^(22 -z),可得Xi+Ax2yi+ay2Z, + ^1 + ^1+^+点M叫作有向线段AB的定比分点，当入=1时，点M是有向线段AB的中点，其坐标为Z1+zX+x2yi+y2r22?例5设m=3i+5j+8k，n=2i-4j-7k，p=5i+j-4k求a=4m+3n-p在x轴上的坐标及在y轴上的分向量：解a=4m+3n-p=4(3i+5j+8k）+3(2i-4j-7k）-（5i+j-4k)=13i+7j+15k,所以a在x轴上的坐标为13，在轴上的分向量为7j.三、向量的模、方向角设α为任意一个非零向量，又设α、β、为α与三坐标轴正向之间的夹角（0≤α，β，≤），如图5-22所示，则α、β、分别为向量α的方向角，由于向量坐标就是向量在坐标轴上的投影，故有a,=lacosα,a,=lacosβ,a,=[acos其中，cosα、cosB、cos称为向量a的方向余弦，通常用来表示向量的方向，由模的定义，可知向量a的模为[a|= /(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 -z)2a?+a+aaxay或cosα2+02+acos图5-227
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第五章向量与空间解析几何由此可得cos?α+cosβ+cos?=1,即任一非零向量的方向余弦的平方和为1，进一步，11a(ax,ay,a,)=(cosa, cosp, cosy).a,a)ea.LaTal+(+(例6设两已知点M（2，2，/2）和M（1，3，0），分别写出向量MM，、M,M的坐标表示式和向量表示式，计算它们的模、方向余弦、方向角、同向单位向量解 向量M,M,=(1-2,3-2,0-/2)=(-1,1,-/2)=-i+j-/2k,M,M=-MM,=-(-1,1,-/2)=(1,-1,V2)=i-j+V2k模 [M,M,/= [M,M I= /(- 1)2 + 12 +(- /2) = 2M,M,的方向余弦为112cosβ,cosaTcosy122出版对应的方向角为2α,B3电国同理可得M,M的方向余弦为2cosB,cosa2cosy222对应的方向角为2β,3A/21与M,M,同向的单位向量为eMM22-221/21与M,M,同向的单位向量为eMM,2.-22例7求平行于向量a=6i+7i-6k的单位向量解所求向量有两个，一个与a同向，一个与α反向，由于|a=/62+72+（-6)2=11，故+3-%k6aa6k,e-a=ea=-al-ka--211例8已知向量PP,的模为1P,P,I=2，向量与x轴和y轴的夹角分别为和43如果P，的坐标为（1，0，3），求P,的坐标，解设向量P,P,的方向角分别为α、β、:8
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第一节向量及其运算/21.B=TT因为α=则cosQ=cosβ=2"34'212TT又因为cos?α+cosβ+cos2=1，所以cos=±可得=或=233设Pz的坐标为（α，y，z)1可知！C由cosα解方程可得x=2，22IP,P, I可知0V2y-o解方程可得y=/2由cosβ=22[P,P2 ]1z-3可知-3由cosy解方程可得z=4或z=2，22IP,P2I因此，P，的坐标为（2，/2，4）或（2，V2，2)四、数量积饭首先我们来看一个引例设一个物体在恒力F作用下，沿直线从点M，移动到点M，（见图5-23），以s表示位移MM由物理学知道，力F所做的功为W=|Flslcos（见图5-24），其中e为F与s的夹角，邮电M,M2s数量积M图5-23图5-24从这个问题可以看出，我们有时要对两个向量做这样的运算，运算的结果是二个数它等于这两个向量的模及它们夹角的余弦的乘积：我们把这个数称为这两个向量的数量积（也称为内积或点积）（见图5-25).定义1给定向量a与b，我们将|a|与|b|及它们的夹a角的余弦的乘积，称为向量a与b的数量积，记为a·b，即图5-25a.b=lallblcoso = lallblcos(a, b)(0≤o≤)由数量积的定义可知，恒力F沿直线从点M，移动到点M，，所做的功为W =|FI IM,M,Icosa =F. M,M,由定义1可以推出：(1)a-b=a|Prj,b=[b|Priga;.9
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第五章向量与空间解析几何(2) a.a= lal a|cos(a, a) = [a|2;(3)若lal≠0,lb|≠0,则a·b=0=a1b.证若已知a·b=0，即lallblcos(ab)=0，故cos(a，b)=0,（a，b)=，因此alb:反之，若a士b，即(a，b)=，故cos(a，b)=0,从而lal[blcos(a,b)=0,因此a·b=0.数量积符合下列运算规律，(1)交换律：a·b=b·a.证 a -b = [a||b|cos(a,b)= [b||a|cos(b, a)=b .a(2)分配律：（a+b）·c=a·c+b·c证(a +b)-c = Ic|Prj.(a +b)= Icl(Prj,a + Prj,b)= Ic|Prj,a + Ic|Prj,b =a- c +（3）（入a）·b=a·（入b）=（a·b）（其中入是实数）证当入=0时，三者均为零，显然成立；当^ > O时, (Aa) -b = [Aa|lb|cos(入a, b)=Xlallblcos(a, b)=^(a·b)= [a| [ab|cos(a, ab)=a(ab) ;当入<0时,(a)b= [al|b|cos(Xa,b)=-^ [al|b|cos(-(a,b))=入[a|b/cos(a,by=^(a·b)=- la(lbleos( - (a, b))=[allab[cos(a, ab)=a ·(ab) .类似地，可证得（入a）.（ub）=入u（ab）下面来看两向量的数量积的坐标表示式设a=(ax,ay，a)=ai+ayj+ak,b=(br,by,b)=bi+bj+b，则ab=(ai+aj+ak)·(bi+b,j+bk)=abi.i+abi.j+abi.k+abj.i+abjj+abj.k+abki+abkj+abk.k注意到i·i=j·j=k·k=l,i·j=j·k=k·i=0,则有ab=arb+a,b+ab..由此可得：若[a|≠0，b|≠0，则abr+aby+aba·bcos(a, b)=Tal6a++p+by+a.b=0=alb=ab+a,b+ab,=0.例9利用向量证明不等式：/a +a, + a2/b? +b, + b ≥ la,bi + azb2 + asb3l 10
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第一节向量及其运算其中a1、a2、a3、b1、b2、b3为非零常数，并指出等号成立的条件，证设a=(aia2,as)，b=(br，bz,bs)，则ab+a2b2+asb3a·bcos(a, b) :Tal16+d++6+6从而a,+a,+a/by+b+by≥latb,+azb2+absl,等号成立当且仅当a//b.例10已知a=（1，1，=4)，b=（1,-2,2)，求：（1)a·b；（2）a与b的夹角；（3）a在b上的投影解（1)由数量积的坐标表达式可知a -b =1. 1+ 1 (- 2) +(- 4) .2=- 9.(2)因为ab+a,by+ab9/2coso=2/12 + 13 + (- 4)/12 +/(-2)2 +22a+a+a/+6+6出版3㎡所以0=4(3)由ab=lblPria，可得abPri,aTbl例11 已知a + 3b 1 7a -5b,a -4b 1 7a - 2b，试求(a,b)解根据题意，有((a+3b).(7a-5b)=0(a - 4b) : (7a - 2b)=0即7 |a|2 + 16a . b - 15 [b|2 = 0,(7[a|2- 30a .b + 8|b|2=0,[b|2，代入第一个方程得[a|=[b」，两式相减得a·b2因此abablcos(a,b)=16|2=2[a||b]T即(a,b)=3例12液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为v（常向量），设n为垂直于S的单位向量（见图5-26），计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的重量P（液体的密度为p）.解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A，斜高为「的斜柱体，这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是与n的夹角，所以这柱体的高为cosa，体积为:11
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