第五章向量与空间解析几何tz竖轴原点0C空间直角坐标系yy纵轴横轴x图5-2图5-3对于空间一点M，过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴的交点依次为P、Q和R（见图5-5），这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标为x、y和z，则这组有序数x、y和z称为点M的坐标，记为M（x，y，z）：Ⅱ2ⅡIV-M邮电出XVIIVVI图5-4图5-5反之，已知一个有序数组（x，X我们可以在轴、轴和轴上分别取坐标为的点P，坐标为y的点Q，坐标为z的点R，过三2个点分别作垂直于x轴、y轴和z轴的三个平面，B(0,yz)R(0,0,2)它们相交于一点M，则M即为以x、y和z为坐标C(x,0,z)M的点，所以通过直角坐标系，我们建立了空间点..OL.M与有序数组（x，y，z)的一一对应关系.Q(0.y:0)我们先来看几个特殊点的坐标（见图5-6）xP(x,0,0)A(x.yo)在xOy平面上：z=0，故对应点的坐标为图5-6A(x, y, 0) ;在yOz平面上：x=0，故对应点的坐标为B（0，y，z）；在z0x平面上：y=0，故对应点的坐标为C（x，0，z）在x轴上：y=z=0，点的坐标为P（x，0，0）；在y轴上：z=x=0，点的坐标为Q（0，y，0）；在轴上：x=y=0，点的坐标为R(0，0，z）设M（x1，1，z1）、M2（x2，y2，22）为空间两个点（见图5-7)，通过M、M,各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面组成一个以M，、M，为体对角线的长方体，由此可得: 2
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第一节向量及其运算d = IM,M, /2 =(x2 - x))2 + (y2 -y1)2 +(z2 -21)2即d = M,M,/= /(x2 - x1)2 + (y2 -y)2 +(22 - zi)2例1证明以点M（4，3，1）、M（7，1，2）及M（5，2，3）为顶点的三角形是等腰三角形.证IM,M,= /(7 - 4)2 +(1 - 3)2 + (2 - 1)= /14,图5-7[M,M, /= /(5 - 7)2 + (2 - 1)2 + (3 - 2)3=/6,[MM /= /(4 - 5)2 + (3 - 2)2 + (1 - 3)2 = /6即IM,M|=|M,M，因此该三角形是等腰三角形例2在z轴上求与两点A（-4，1，7）和B(3，5，=2）等距离的点解设所求点的坐标为M(O，O，z），由|AM|=BMI，即V(0 + 4)2 + (0 - 1)2 +(z - 7)= /(3 - 0)2 + (5 +0)2 + (- 2 - z)2,1414邮电出）得Z：因此所求点的坐标为M（0.0.9二、向量的运算1.向量的投影及投影定理将非零向量α、b的始点重合，在两向量的所在平面上，若一个向量逆时针方向转过角度后可与另一个向量正向重合（见图5-8），则称6为向量a、b的夹角，记作(a，b），即0=(a. b)=(b,a)(0≤0≤)对于向量a、b，如果它们的夹角6=0或=π，则称这两个向量平行，记为a//b，其中两个向量指向一致时a=0，指向相反时a=T：指向相同的两个平行向量α、b如b果还满足a=bl，那么这两个向量相等，记为a=b.与向图 5-8量a的模相同，但方向相反的向量叫作a的负向量，记作-a.对于一向量与一轴的夹角，可将其中一轴看作向量，按两向量之间的夹角来度量：对于两个轴之间的夹角，则看作两向量的夹角。通过空间一点A作与u轴垂直的平面（见图5-9），该平面与u轴的交点A'称为点A在u轴上的投影如果向量AB的始点A与终点B在u轴上的投影分别为A'、B（见图5-10），则u轴上的有向线段A'B的值A'B'称为向量AB在u轴上的投影，记作Pri,AB=AB'，u轴称为投影轴..3
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第五章向量与空间解析几何图 5-9图5-10注值A'B'是指其绝对值等于AB的长度，即|ABI，符号由AB的方向决定：当A'B与u轴同向时，取正号：当AB与u轴反向时，取负号定理1向量AB在u轴上的投影等于向量的模乘以u轴与向量AB的夹角的余弦，即PrjuAB -IABIcoso证将向量AB的始点置于u轴（见图5-11），则由直角三角形关系得Prju AB = Prju.AB = |ABlcose.当一非零向量与其投影轴成锐角时，向量的投影为正，成钝角时，向量的投影为负；成直角时，向量的投影为零（见图5-12).民邮电出图5-11图5-12定理2两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在轴上的投影的和。证设点A、B和C在轴上的投影分别是A、B'和C"（见图5-13)，则Pri,AB=A'B'，Pri,BC=B'C"Pri,AC=A'C'，由于无论A、B'和C在轴上的位置如何，总有A'C'=A'B+B'C"，故PrjAC =PrjAB+ Pri,BC.图5-13本定理可推广到有限个向量的情形：Prj,(a, +a2 +... +an)=Prj.a, +Prjua2 +... +Prj.an定理3Prj(入a)=入Prja证证明留作习题，2.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标以同起点向量、b为平行四边形相邻两边，以α向量的起点作为起点的其对角线表示的向量为两个向量的和，记为a+b，如图5-14所示，以b向量的终点为起点，a向量.4
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第一节向量及其运算的终点为终点的对角线向量为两个向量的差，如图5-15所示，记为a-b=a+（-b)RRa-b7+boaaA0A图5-14图5-15设入是一个实数，向量a与数入的乘积入a规定如下当入>0时，入a表示一向量，其大小|入a|=入[a|，方向与a同向；当入=0时，入a=0是零向量；当入<0时，入a表示一向量，其大小|入a=-入a|，方向与a反向（见图5-16)特别地，当^=-1时，（-1)a=-a.由数乘的定义很容易得到以下结论（见图5-17）（1）如果两个向量a、b满足b=入a（入是实数），则a//b：反之，若a//b且a0，则存在唯一的实数入，使b=入a（证明留作习题）(2)记e.为非零向量a的同向单位向量，则ea民邮电出20-20图5-17图5-16例3设Pi、P2为u轴上坐标分别为ul、uz的两点，又e为与u轴正向一致的单位向量（见图5-18），则有PP,=（u,-u,）e.PrPoe442图5-18证当->时，P与e同向，故PP,=e(入>0），由入=IP,=u-u因此P,P,=(uz-u)e;当u2 -ur=0时,P,P, =0,(uz -ur)e=0, 因此P,P, =(u2 -u)e;当u-u0时,P,P,与e反向，故P,P,=-e(>0)，由入=|P,P/=-u2,因此PP, =-e=-(ui -uz)e=(uz-ur)e.设空间有一向量a=M,M，其中M（x1，J1，z）、M2（x2，y2，z2），由加法定理可:5
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第五章向量与空间解析几何知a可分解为三个分别平行于x轴、y轴和z轴的向量a、a,和a，它们称为a在x轴、y轴和z轴的三个分向量.显然a=a+a,+a（见图5-19).zt4bi版社图5-19设x2—,=ax，y2-=ay，22-z=a2如有Prj,a= Prj,a, = x2 -XPrj,a=Pri,a, =y2-yayPrja=Prja.=-2=a若用i、j和k分别表示与x轴、y轴和轴正向一致的三个单位向量，称它们为基本单位向量，则有a,=(x2 -x)i,a,(2yi)j,a,=(z2—21)k，因此a=a,+a,+a,=(x2xx)i+(y2-y)j+(z2-z)k=ai+aj+ak,称上式为向量a按基本单位向量的分解式或a的向量表示式，方面，从向量a可以唯一定出它在三条坐标轴上的投影aa，和a，，另一方面，从a、a,和a,可以唯定出向量a，这样有序数组aa、a,就与向量a一一对应，于是将ax、a,、a,称为向量a的坐标，记为a=（ax，ay，a.），也称为向量a的坐标表示式.以M（x1，J1，z）为始点、M（x2，y2，z2）为终点的向量记为M,M, =(x2 -x1, 2 -y1, 32 -2))特别地，M(x，y，z），向径r=OM=（x，y，z）（见图5-20).对于向量的运算也可化为对坐标的数量运算，设向量a=（ar，ay，a），b=（br，by，b），则a±b=(ai+aj+ak)±(bi+bj+bk)=(ar±b)i+(a,±b)j+(a±b,)k=(ar±br,ay±b,,a,±b,);Aa=a(ai+aj+ak)=(aar)i+(aa)j+(Aa)k=(Aar,Aay,Aa,)例4设A（×1，J1，2）和B（x2，32，≥2）为空间两图5-20:6
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