考研数学历年真题：1998考研数一真题及解析

【分析】因为z=f(xy)+yp(x+y).f.p具有二阶连续导数，利用混合偏导数在连续X或=的条件下与求导次序无关，先求均可，但不同的选择可能影响计算的繁简，axy方法1：先求axαa[1()+yo(x+) =-()+F(x)+y0(x+),axoxYα(1(x)+兰f(x)+ yp(x+y)axoyoy-+()+()+r()+(++)+y0(+)f(xy)+= f'(xy)+ yf"(xy)+p(x+y)+ yp"(x+ y)=yf"(xy)+p'(x+y)+yp"(x+y)方法2：先求%yα1-f(xy)+yp(x+y) f'(xy)x+p(x+y)+ yp(x+y)oyay x= f'(xy)+p(x+y)+ yp'(x+y), =yf"(xy)+@(x+y)+ yp"(x+y)方法3：对两项分别采取不同的顺序更简单些：离[()][%((+)]axoyaxay(x[ ()x]+[v0(x+)]aax[x-α[ (] / ((+ ) =yf"(xy)+p'(x+y)+yp"(x+y)评注：本题中，f，β中的中间变量均为一元，因此本题实质上是一元复合函数的求导，只要注意到对x求导时，y视为常数；对y求导时，x视为常数就可以了(3）【答案】12a6资料搜集QQ1836989006微信1836989006

资料搜集 QQ1836989006 微信 1836989006 6 【分析】因为 1 z f xy y x y f ( ) ( ), , x = + +   具有二阶连续导数,利用混合偏导数在连续 的条件下与求导次序无关,先求 z x   或 z y   均可,但不同的选择可能影响计算的繁简. 方法1：先求 z x   . 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z y f xy y x y f xy f xy y x y x x x x x       = + + = − + + +         , 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). z y f xy f xy y x y x y y x x y f xy x f xy f xy x x y y x y x x x f xy f xy yf xy x y y x y x x yf xy x y y x y            = − + + +          = − + + + + + +      = − + + + + + +      = + + + +    方法2：先求 z y   . 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), z f xy y x y f xy x x y y x y y y x x f xy x y y x y          = + + = + + + +         = + + + +     2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). z z f xy x y y x y x y y x x yf xy x y y x y        = = + + + +        = + + + +    方法3：对两项分别采取不同的顺序更简单些： ( )       2 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). z f xy y x y x y x y x y x f xy x y x y x x y f xy y x y x y yf xy x y y x y                 = + +                       = + +           = + +     = + + + +    评注：本题中, f , 中的中间变量均为一元,因此本题实质上是一元复合函数的求导,只要 注意到对 x 求导时, y 视为常数；对 y 求导时, x 视为常数就可以了. (3)【答案】 12a

【解析】L关于x轴（y轴）对称，2xy关于y（关于x）为奇函数=[,2xyds=0又在L上，x?y?=1= 3x2 + 4y2 =12= ,(3x2 +4y2)ds=J,12ds =12a.43[, 2xyds+[,(3x +4y2)ds=12a因此,原式=【相关知识点】对称性：平面第一型曲线积分[J(x,y)ds，设f(x,y)在1上连续，如果1关于y轴对称，1为1上x≥0的部分，则有结论：[2],(x,J)ds, 于(r,J)关于x为偶函数,J,f(x,y)ds f(x,J)关于x为奇函数.0,类似地，如果/关于x轴对称，1,为l上y≥0的部分，则有结论：[2],(x,J)ds,(x,)关于y为偶函数[,(x,y)ds =0,f(x,J)关于y为奇函数(4）【答案】【解析】方法1：设A的对应于特征值入的特征向量为，由特征向量的定义有AE=NE,(≤±0).由A0，知入±0（如果0是A的特征值A=0），将上式两端左乘A得AAE-AS-ANE-NAEA5-A从而有，（即A"的特征值为as,L将此式两端左乘A',得(4)5-445()+15.故(4)+E的特征值为又 E5=5,所以(4) +E)5=27资料搜集QQ1836989006微信1836989006

资料搜集 QQ1836989006 微信 1836989006 7 【解析】 L 关于 x 轴( y 轴)对称, 2xy 关于 y (关于 x )为奇函数 2 0 L  = xyds  . 又在 L 上, 2 2 2 2 2 2 1 3 4 12 (3 4 ) 12 12 . 4 3 L L x y + =  + =  + = = x y x y ds ds a   因此, 原式 2 2 2 (3 4 ) 12 L L = + + = xyds x y ds a   . 【相关知识点】对称性：平面第一型曲线积分 ( , ) l f x y ds  ,设 f x y ( , ) 在 l 上连续,如果 l 关于 y 轴对称, 1 l 为 l 上 x  0 的部分,则有结论： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 , , , , 0 , l l f x y ds f x y x f x y ds f x y x   =      关于 为偶函数, ， 关于 为奇函数. 类似地,如果 l 关于 x 轴对称, 2 l 为 l 上 y  0 的部分,则有结论： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , , , , 0 , l l f x y ds f x y y f x y ds f x y y   =      关于 为偶函数, ， 关于 为奇函数. (4)【答案】 2 1 A      +   【解析】方法1：设 A 的对应于特征值  的特征向量为  ,由特征向量的定义有 A   =  , ( 0) . 由 A  0 ,知   0 (如果0是 A 的特征值  = A 0 ),将上式两端左乘 A  ,得 A A A A A         = = = , 从而有 * , A A    = (即 A  的特征值为 A  ). 将此式两端左乘 A  ,得 ( ) 2 2 * * A A A A        = =     . 又 E  = ,所以 (( ) ) 2 2 * 1 A A E        + = +           ,故 * 2 ( ) A E+ 的特征值为 2 1 A      +  

方法2：由A±0，A的特征值入±0（如果0是A的特征值A=0），则A-有特征值2AAA*的特征值为（A）+E的特征值为+12【相关知识点】1.矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵，若存在数入及非零的n维列向量X使得AX=X成立，则称入是矩阵A的特征值，称非零向量X是矩阵A的特征向量.由为A的特征值可知，存在非零向量α使Aα=α，两端左乘A-，得α=A-α1I因为α0，故±0，于是有A"α=一是A-的特征值-α.按特征值定义知二1若AX=AX，则（A+kE)X=AX+kX=(a+k)X.即若是A的特征值，则A+kE的特征值是入+k2.矩阵A可逆的充要条件是A+0，且A-!A(5）【答案】！4【解析】首先求(X,Y)的联合概率密度f(x,y)1D=/(x,y)l1≤x≤e,0≤y≤dx=l区域D的面积为S,=Xe? x012[1(x,y)eD,2f(x,y)=o,其他.其次求关于X的边缘概率密度，当x<1或x>e时，fx(α)=0：Sdy=当1<xe时, fx(x)= f(x, )dy=」2故Jr(2)=14二、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分.）(1）【答案】（A)【解析】为变限所定义的函数求导数，作积分变量代换u=x?-?8资料搜集QQ1836989006微信1836989006

资料搜集 QQ1836989006 微信 1836989006 8 O 1 2 方法2：由 A  0 , A 的特征值   0 (如果0是 A 的特征值  = A 0 ),则 1 A − 有特征值 1  , A  的特征值为 A  ； * 2 ( ) A E+ 的特征值为 2 1 A      +   . 【相关知识点】1.矩阵特征值与特征向量的定义：设 A 是 n 阶矩阵,若存在数  及非零的 n 维列向量 X 使得 AX X =  成立,则称  是矩阵 A 的特征值,称非零向量 X 是矩阵 A 的 特征向量. 由  为 A 的特征值可知,存在非零向量  使 A  = ,两端左乘 1 A − ,得 1    A − = . 因为   0,故   0,于是有 1 1 A    − = .按特征值定义知 1  是 1 A − 的特征值. 若 AX X =  ,则 ( ) ( ) A kE X AX kX k X + = + = +  .即若  是 A 的特征值,则 A kE + 的特征值是  +k . 2.矩阵 A 可逆的充要条件是 A  0 ,且 1 1 A A A −  = . (5)【答案】 1 4 【解析】首先求 ( , ) X Y 的联合概率密度 f x y ( , ) . 2 1 D x y x e y ( , ) |1 ,0 x   =         , 区域 D 的面积为 2 2 1 1 1 ln 2. e e D S dx x x = = =  1 , ( , ) , ( , ) 2 0, x y D f x y    =    其他. 其次求关于 X 的边缘概率密度. 当 x 1 或 2 x e  时, ( ) 0 X f x = ； 当 2 1 x e 时, 1 0 1 1 ( ) ( , ) 2 2 x X f x f x y dy dy x + − = = =   . 故 1 (2) . 4 X f = 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.) (1)【答案】(A) 【解析】为变限所定义的函数求导数,作积分变量代换 2 2 u x t = −

t:0→x=u:x2→0, du=d(x2-)=-2tdt=dt =du2tTr(--o(-)a:-I-(du= (n,x- --m7(x) () -→(x),2x=x(x),选(A)【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若F(U)=[(" f(x)dx,α(t),β(t)均一阶可导, 则 F(t)=β(t)-J[β(t)]-α(t)· f[α(t)] (2）【答案】(B)【解析】当函数中出现绝对值号时，就有可能出现不可导的“尖点”，因为这时的函数是分段函数。f(x)=(x2-x-2)xx2-1，当x±0,±1时f(x)可导，因而只需在x=0,±1处考察f(x)是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数((x2 -x-2)x(1-x2), x<-1(x2-x-2)x(x2-1),-1≤x<0由f(x)=(x2-x-2)x(1-x), 0≤x<1,(x2 -x-2)x(x2 -1), 1≤x,f(x)-f(-1) (c° -x-2)x(1-)-0 = 0. limf(-1) = lim :=x+1x+1f(x)-f(-1)(2 -x-2)x(1-x)-0 =0,limJ*(-1)= limx+1x+1即f(x)在x=-1处可导.又(x)-f(o0)(2 -x-2)x(x2 -1)-0 = 2,f(O)= lim :limx?0x→0f(x)-f(0)( -x-2)x(1-x)-0 =-2 ,f(0)= lim :limxr~0xr-0所以f(x）在x=0处不可导9资料搜集QQ1836989006微信1836989006

资料搜集 QQ1836989006 微信 1836989006 9 2 t x u x : 0 : 0 →  → , ( ) 2 2 du d x t tdt = − = −2 1 2 dt du t  = − , 2 2 2 0 2 2 2 2 0 0 0 1 ( ) ( ) 2 1 1 ( ) ( ) , 2 2 x x x x tf x t dt u x t tf u dt t f u du f u du   − = − −    = − =     ( ) 2 2 2 0 0 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 1 1 ( ) ( ) 2 ( ), 2 2 d d x x tf x t dt f u du dx dx f x x f x x xf x − =  =  =  =   选(A). 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若 ( ) ( ) ( ) ( ) t t F t f x dx   =  ,()t ,  ()t 均一阶 可导,则 F t t f t t f t    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =  −          . (2)【答案】(B) 【解析】当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是 分段函数. 2 2 f x x x x x ( ) ( 2) 1 = − − − ,当 x   0, 1 时 f x( ) 可导,因而只需在 x =  0, 1 处 考察 f x( ) 是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数. 由 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2) (1 ), 1, ( 2) ( 1), 1 0, ( ) ( 2) (1 ), 0 1, ( 2) ( 1), 1 , x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x  − − −  −   − − − −   =  − − −      − − −   ( ) ( ) 2 2 1 1 1 ( 2) (1 ) 0 ( 1) lim lim 0 x x 1 1 f x f x x x x f x x − →− →− − − − − − − − −  − = = = + + , ( ) ( ) 2 2 1 1 1 ( 2) (1 ) 0 ( 1) lim lim 0 x x 1 1 f x f x x x x f x x + →− →− + + − − − − − −  − = = = + + , 即 f x( ) 在 x =−1 处可导.又 ( ) ( ) 2 2 0 0 0 ( 2) ( 1) 0 (0) lim lim 2 x x f x f x x x x f x x − → → − − − − − − −  = = = , ( ) ( ) 2 2 0 0 0 ( 2) (1 ) 0 (0) lim lim 2 x x f x f x x x x f x x + → → + + − − − − −  = = = − , 所以 f x( ) 在 x = 0 处不可导