2.1一阶偏导数与（全）微分（主要以二、三元函数为例）31易知D是非凸域，f(r.y)的一阶偏导数均在D上有界，但(T，y)在D上不一致连续.(3)令A=max(g(X)：lxll=1)B=max(M,A),并对>0,取X,=(r,,y,)ER(i=1,2.,m）：X,=1(i=1,2，,m），使得对于满足XI=1的X=(r,y)ER2,必存在X,:IlX-X,Ile/3B.根据（i)，（i），还可选>0，使得当0t时有f(tr,.ty,)-f(0,0)-g(tri,ty,)/<at/3(i=1,2,,m).从而当X<时，对某个i可知X/XI-X<e/3B,X-XX,<XIE/3B,If(X)-f(XX,)I<MIXIle/3B≤Xe/3,If(lxlli,lxly,)-f(o,o)-g(Ixllx, y,)<lxle/3,Ig(X)-g(XX)=|g(X-XlX)-X-XX,g((X-XX)/X-X.X)≤IXIIsM/3B≤Xe/3.因此，我们有|f()一f(00)—g(，)|<号xl·3=xll例2.1.7试证明下列命题：(1）令D={(，)：+y十<1)，f(，,)在D上的偏导数存在，且有fi(,y,)≤l,/f(,,) /≤ ((y,)D)若对取定的点（,y)：2+y<1,f(r,y，z)是的连续函数，则fEC(D)(2）令D=(I,y)：+y<1).fEC(D)且有偏导数.若If(ry)≤1((r，y)ED)，则存在（To.yo)ED,使得af(zoyo)(af(ao,y))≤16aray证明（1）设（ro,，z）ED，且Ar，AyA充分小，则If(ro+Ay+Ay,z+)f(royoz)1≤lf(o+r,y+Ay,z+A)-f(zo,y+Ayz+A)+lf(xo,+Ay2+A)-f(ro,yo2+A)1+(+)f(2)≤f(A+Ayz+A)A/+f(o,yAyz+)A+f(+f(2)≤/ArI+/Ay+f(ro,20+)-f(o,yo,2) 1.由此以及依据题设即得所证(2)作F()=f(r,y)+2(+)((,)ED),则F(0,0)≤1,且F(,)≥1(2+y2=1).从而可知存在点（z，）：+<1，使得F（ro）达到最大（小）
.32.第2章多元函数微分学值.由此得F（ro，）=0=F（r。，y）.从而导出f'(ro)=-4xo,f(ao.yo)=-4yo.因此我们有af(ro.yo))af(xo-yo)=16（+%）≤16.aray例2.1.8试证明下列命题：(1）设定义在区域D上的f（r，y)满足f(r,)=0,df(r,y)=0,(r,y)ED,ar1则f(r,y)=C(常数),(r,y)ED.注设f(y)定义在区域D上若f(r.y)一0((r.y)ED).则对任一点X=xo.)ED，存在邻域UX)，使得fry)=F(r）（y)EU(X..o).但此结论不能推广到整个D上例如令,1>o.y>0,D=R((r,y):r≥o.y=o),f(r,y)(r.y) ED.其它，则EC（D)且有连续二阶偏导数.然而我们有f,(ry)=0.(r,y)ED;f(1,1)=1f(1,-)=0.J，>0且y≥0.又例如D=()0.≥0(）(r.y)ED.则0.其它，fi(y)=0,(y)ED但f与有关（2）设f(r，y)，g(r，y)在区域D上存在偏导数.若有afag.af-ag.f(r,y)+g(r,y)=1 ((r,y)ED),arayayar则f(a,y).g(a,y)在D上皆为常数证明（1）对D中任意两点X。=（To，y）,X=（r，y),则有位于D内的以X，X为端点连续折线，不妨设为D中有点组：Xi，X2，，X.--1，X，=X：X.X..XX2,*"-,X.-X C D对于线段XX（X（xi，y）），应用中值公式可知f(X)-f(X,) =f(TIy) --f(aoy)=f(()+f(+(-,+o-)(-%)=0.由此导出f（X。）一f（X）.类似地可推f（X）=f（X2）=...二f(X）.这说明f（xo，yo）=f(r，y).证毕（2）只需指出g=0=g,f=0=f（（x，y)ED).由于f（r，y）十g（x，y)=1，故对x,y求偏导可得f(a.y)f(r,y)+g(r,y)gi(x,y)=o
2.1一阶偏导数与（全）微分（主要以二、三元函数为例）·33f(r,y)f,(r,y)+g(r,y)gs(r,y)=o.即f(r,y)f(r.y)=-g(.y)g(r.y),f(ry)f(a,y)=-g(r,y)g,(ry).再根据f(r,y)=g(r,y),f(r,y)=一g(x,y）（(r,y)ED),又可知f(t,y)g,(r,y)=-g(i,y)g,(r,y),f(r.y)g(a.y)=g(r,y)g,(r,y),从而导出（(r,y)ED)f(x,y)+g(ry)lg,(r,y)=0,[f(r,y)+g(r,y)lgi(x,y)=0这说明g,(y)=0=g,(r.y)，,y)ED.类似地可推得f(r,y)=o=f(,y),(r,y)ED注设(,y)定义在区域D上，且f（r.)=0((，)ED).若对D中任意两点(，y），(y):y<有((r.y):y,<y<yicD,则f(a,y)=（r）.实际上我们有（0<<1)f(2)-f()=f(o(yzy))(y2)=0.这说明f(ry)之值与y无关例2.1.9试论下列函数在指定点的可微性：e-1/+y，+y≥0,(0,0).(1)f(r,y)0,十2=0,4/3sin(y/），0,(2)f(r,y)=(T,y)ER.0,r=0,[(+)sin(1/(+)),+0,(0,0).(3)f(r,y)0,+y2=0,解（1）因为我们有f.(0,0)= lim f(z,0)-f(0,0)=limx-le-1/2=0,rf,(0.0)= limf(0,y)-f(0,0)2=limy-e-1/=0，y所以()-f(0,0)=e-/+)=V+a(),其中a(r,)=e-/+) / /+=e-/ /p→0 (p→0),p=V?+y.由此知f(r,y)在点（0,0)处可微（2）因为我们有43T1/3sin"cosx±0，af(r,y)2xNar0,1=0,y11/3cOsr0,af(r.y)ray0,x=0
34.第2章多元函数微分学且均在D=RV(O,y)：yER)上连续，所以f(，y)在D上可微对点（O，y)，因为其差商存在估计/f(h,k)-f(o,y)|=（(|h1/3）=0(1)（h—→0),(h2 +k2)1/2所以f(工，y)在点（O,y)上可微（3）注意到在r2十y≠0时有2r1f(r,y)=2rsin(1/(2+y2))COS+yr+y2y1f,(ry)=2ysinCOSn1+y2r?+y+yr在十=0时，又有f(r,0)-f(0,0)2sin(1/)=0，f(0,0)=0.f(0,0)=limx若取=1/2Vn元，y=1/2Vn（nEN），则得limf(y）=lim-2n元从而知f（T，y)在点（0,0)处间断（类似地可推f（z，y)在点（0,0)处也间断），而且在任一邻域U。（8)上均无界、但是因为f（0,0)=0=f（0,0），所以导出f(,)-f(0,0)=(r"+y2)sin(1/(2+y))=pα(p),a(p)=psin(1/p)→0(pV+y→0).这说明f(r.y)在点(0,0)处可微例2.1.10试论下列函数在指定点处的可微性：Jy/V+y，+y+0(1) f(r.y)=(0,0).0,十-0(2)f(r,y)=ry,(0.0).解（1)由f(y)=y/+y≤/y/0(→0y-0)可知f(，y)在点（0,0)处连续.因为我们有f"(0,0) = lim f(r,0)-f(0.0)=limo=0,f,(0,0)=0,xPa所以得到（p=V+）f(r,y)-f(o,o)=ry/V+yz=pa(,y),a(,y)=ry/p.易知p0时有α(，y）+0故f(,）在点（00）不可微ry注意，由f（x，y)fy(r,y)Vr+y2)3r+yV+y2
2.1一阶偏导数与（全）微分（主要以二、三元函数为例）·35ya（+y0），可知f（，）≤3/2f（)≤3/2.这说明f（，VG+）y)在点(0,0)的一个邻域上有有界偏导数（2）因为我们有（0.0）=0一f（0，0），所以导出f(r,y)-f(o.o)=p.a(ry)(a(r,y)=Vxy/pp=V+y).取n=1/n，y,=1/n，则α(1/n，1/n）n//2→+co(n-00).这说明f(r，y)在点(0.0)处不可微例2.1.11解答下列命题：（1）求函数（i)u=ar（a>0）.（ii)u=ry的微分(2）求可微函数u=f(,y，z)在r=t,y=t，=t时对t的微分22设(3)1,lr+my+n=0，则a262C2dydrdzmz/c2mz/a2-ly/62.my/6212/c2-nz/a23y2222设之(4)i1=1，则62Ca十入十入O62-十入7(+)= 0.drdzdy解（1）（i）注意到lnu一ryzlna，故得= Ina(yedr+zrdy+ryde)= ry na(++u(dridyidzdu=ay2lnd：（ii）注意到lnu=yln+lny十rlnz，故得d=dy·In+dr+de·Iny+dy+deln+=de,u1((+Ind+（+Inz)dy+（+In）du=r'y(2）du=fidt+f2.2tdt+f3.3t2dt=（f+2tf2+3tf3）dt（3）对两式各求微分，可得+y+=0，ldr+mdy+nde=0.0262C从而可解出