.36.第2章多元函数微分学drdydzy/622/c22/c2x/a2x/a?J/6211nnmm由此即得所证（4）对两式各求微分，可得ydyrdr+ydy+ederdzdz=0,0622a2a2+^62十入+2-从而可解出rdrydy-入（62-）/622（62+入（c2+入）—(c2-a)/ca(c?+)(a2+)zde入（a2=62)/a262(a?+入)(2+a）或ydyrdazdza(a)()62(b2 +^)(c2a2)(c+(a2)若记此值为1/k，又知kr2r(62-c)(1kr2/(-=a2a+入dr0+a(a+)类似地可知y2K(y(c2α)(a°-b2)上(入(6262+入dydz入十因此我们有+yy2k工72+兰）式①左端=2(+)xla62例2.1.12试证明下列命题（1）设z=f(，y)可微，且f(，y）（ydr十rdy）是具有连续二阶偏导数的函数g(r.y)的全微分，则rf(a,y)=yf(r,y)(2）设y十+y-1=0,则有微分等式dydr=0(ry> 0).V-rVI-y(3）设(z+ay)dz+ydy是某可微函数的全微分，则α=2.(r+y)2证明（1）由题设易知g(r,y)=yf(，y），g,（r,y)=rf(r,y),从而又可得ag(r.y)ag(r.y)2=f(r.y)+f,(r,y).y=f(r,y)+f(r,y)r,drdyayar根据gy二g即可得证
2.1、一阶偏导数与(全)微分（主要以二、三元函数为例）.37.（2）对原题式求微分，易知2ry2dr+2rydy+2dr+2ydy=0,r(1+y)dr+y(1+z)dy=0.?从原题式还可解得1-y1+，=11-V2-，=士一1+32+11+代人式①（注意y>0），我们有1-y(1+y)dr+(1+)dy=0V1-ydx+Vi-xdy=o（3）不妨设该可微函数为f（，），则按定义可得aza+ayax3ar(r+y)2,ay(r+y)2由此知ydy+g()=In/r+i++g(a)+y)21r+y从而又得2-1y1+2y+g(r)+g(r).arr+y(+y)2(r+y)2r+ay+2y联系到上面第一式，我们有+g（r),或(r)2(r+y)2r+ayr+2y(a-2)g(α)=(t+y)ey.(r+y)2(r+y)?这说明必须a2.例2.1.13试证明下列命题：(1）设f(r，y)在区域D上定义，X=（oy)ED.若存在f(ro，）又在邻域U(X.)上存在f(r,y),且f(a，y)在点(to,y)处连续，则f(r,y)在点(ro.Vo）处可微(2）设f（r，y)在原点的邻域U。（）上定义，f(，y)在点（0,0)处连续，在U。)\（0.0))上可微.若有limf(r,)=0limf,(r,y),I.v)r.y)+(0.0则f(r，y)在点(0,0)处可微（3）设f(,y）=lr一ylg，)，g（，y)在零点的邻域U。（)上连续，且g（0,0）=0,则f(r,y)在点（0,0）处可微（4）设f(r,y)在点（0,0)处可微，且f(0,0）=0，又假定g（r，y)在点（0,0)处
第2章多元函数微分学.38.连续，则F（r，y）二f（r，y)g（，y)在点（o.o）处可微，且有d(fg）=fdg（在点(0,0)处).证明（1）不妨假定（ro十△r，y+Ay)EU(X，)，我们有f(ro+Ar,y+Ay)-f(ro,yo)f(ro+Ar,y+Ay)-f(ro,y+Ay)+f(ao,y+Ay)-f(ro,)f(roy+AyAr+o(A)+f,(royAy+o(Ay)f(ro,Ar+ar+o(A)+f(oy)Ay+o(Ay)(△r→0,Ay→0),其中=f(f（0).再由≤≤Vr）+（Ay））可知limαA十o（△）+o（Ay)/=0.这说明f（，y）在点（，y）处可微（2）依题设知，对任给。>0.存在8>0，使得af(r.v)[af(z,y)/2E0V+8)axay从而应用中值定理与Cauchy-Schwarz公式，我们有laf（orOy）af(or.oy)If(r,)f(0,0)|aray(() +(22)+ +.aray（3）因为我们有f(x,0)-f(00)Irig(r,o)f(o,y)-f(o,0)Iy/ g(0,y)rJyy所以f"（00）0=f（0，0).注意到[f(ry)-f(o,o)]/Vr?+y=-ylg(r,y)/V?+y=r/ cosr-sint|g(rcos,rsino)/r≤2g(rcoso,rsing)（4)因为f(y）=f(00)△+f,(00)Ay+op)(p=+→0)，所以我们有（F(0,0)=0,p0)AF=F(r,y)-F(o,o)=f(r,y)g(r,y)=fi(o0)g(r,y)Ar+f(o,0)g(r,y)Ay+g(r,y)o(p)=f(0,)g(0,0)Ar+f,(0,0)g(0,0)Ay+R(x,y);R(,y)=f(oo)g(,)-g(.o)Ar+f,(.0)g(,)-g(o0)JAy+g(x.y).o(o).注意到g(,y)在点(0,0)处的连续性可知R(,y)/p0(p0).这说明F(r,y)在点（0,0)处可微.从而立即可得F(r，y）在点（O,0)处的微分为dFl(0.0)=g(00)[f(00)Ax+f,(00)Ay)=gdfl(o0)
2.1一阶偏导数与（全）微分（主要以二、三元函数为例）·39例2.1.14试证明下列命题：(1）设u(r，y)，ur，y）在R2上可微.若有au(r,y)aur,y)qu(r,y)a(r,y)((r.y)ER),arayayay则在变换r二rcoso，yrsino下，上述方程组可表示为auldarra0'raear(2）设=f(r，y)在区域GCR上可微，又假定=g(s,t)，y=(s，t)在区域DCR?上可微，且(，y)EG((s，t)ED)，则z=fLo(s,t)，s,t)在D上可微证明（1）注意到r=十y，一arctan(y/）以及题设，我们有l(ro+yu')=1①(yvg-xua)I(ru'-yu')=l(yup+ro0).?以y乘式①，以乘式②，相加可知(+yu(y+)或u,=lr2类似地可推得第二式，（2）对D中任一点P。=（so，to），并记X。=（zoy）=（g（so，to），(so，to）），依题设知，我们有=f(y)f(ro)=f(oa+f(ro)Ay+ap,-0-→),Ar=p(s,t)-(5o,to)=p(o,to)s+(so,to)t+apal→0(p0),A=()o,o）=（soo）+Φ(oto）+α2paz→0p→0),p=VA)+(Ay),=VA)2+(t)2由此可导出A=f(to.yo)(so,to）+f(ro,yo)(so,to)JA+f(toy0)p'(so,to)+f(1o,yop(so,to)+ap+f'(ro,yoai0+f,(royazp.注意到（估计上式最后三项）TA+g+f(.0 +f(20 0a +f(0aP0(）+(）上g,(so0)+9;(5o 0)+ ,(s,to) /+(so,to) I+M
40:第2章多元函数微分学立即推知I-0（p-0).证毕例2.1.15试证明下列命题：（1）存在9：0≤0≤2元，使得4元=cos（元/2）十sin元（10）/2.若af(,)_f(,)(r,y)ER),则存在g(t)(te（2）设fEC（R2）.若arayR'),使得f(ry)=g(r+y)（(r,y)ER).(3）设f(，y)在R2上有连续的一阶偏导数.若有af(r.y)-af(r,y)f(x,0)>0 (rER),((r.y) ER),aray则f(,y)>0 ((1,y)ER2).（4）设u=vyz，=r，w=ay（r，y，>o）.若三元可微函数f与F满足①f(u,U,w)=F(r,y,z),则uf'+uf+wfu=rF+yF,+&F"证明（1）作函数f(，y）一sin元r十cos元y，在中值公式f(r+h.y+k)-f(ry)=fs(en)h+f(s.n)k;==a+oh,n=y+ok中取=0=-1/2h=k=1/2，则可得（=0/2，n=-（1-0)/2）[sin(+h)+cos(y+）]-[sin+cosy][sin+cos(元·0)]-[sin(0·)+cos号](=2)2(cos元sinr)）=(cos+sin元)2由此即得4/元一cOs（元0/2）十sin（元（1—?）/2）。(2）作变量替换u=r十y,并令h(u,y）=f(u-y,y),则得h(uy)=一fi(uy,y)+f(u-y.y)=o((u,y)ER).这说明h(u,y)与y无关，记为g(u)=g(r+y).（3）对于R2中两点（，y)与（十y，O），则在两点间的连接直线段上，根据中值定理可知，存在点（，n），使得[af(e,n)af(en)f(r,y)-f(r+y,o)=y= 0.axay由此依题设得到f(r.y)=f(r十y,0）=0.（4）式①的意思是说，f(u，u，)通过中间变量a，y，成为r，y，的函数时等于另一函数F(ay，2).这说明式①两端对ry，求偏导应相等.我们有fuu'+f'+fw'=F',【zf/2+yf/2w=F,fu+fu+fww,=F,，或3zfu/2u+xf/2w=Ffuu'+fo'+fu'=-F,yfa/2u+rf/20=F".由此立即解出rF+yF十zF=uf十uf十wfu