S3一般项级数由于非正项级数（一般项级数）的收敛性问题要比正项级数复杂得多，所以本节只对某些特殊类型级数的收敛性问题进行讨论。一、交错级数二、绝对收敛级数及其性质三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法返回后页前页
前页 后页 返回 §3 一般项级数 三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 返回 由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问题 要比正项级数复杂得多, 所以本节只对某些特 殊类型级数的收敛性问题进行讨论. 一、交错级数 二、绝对收敛级数及其性质
一、交错级数若级数的各项符号正负相间，即(1)u, - u, +us - u, +L +(-1)"+ u, +L(u, >0, n =1,2,L ),则称为交错级数定理12.11(莱布尼茨判别法)若交错级数(1)满足：(i）数列(u,单调递减：(ii) lim u, = 0,n?则级数(1)收敛。后页巡回前页
前页 后页 返回 一、交错级数 若级数的各项符号正负相间, 即 则称为交错级数. 定理12.11 (莱布尼茨判别法) 若交错级数(1)满足: 则级数(1)收敛
证考察交错级数(1)的部分和数列S,,它的奇数项和偶数项分别为S2m-1 = u, - (u, - u,)- L - (u2m-2 - u2m-1),S2m =(u, - u,)+(u, - u)+L +(u2m-1 - u2m).由条件(i),上述两式中各个括号内的数都是非负的从而数列(S,m-}是递减的，而数列(S}是递增的又由条件(ii)知道0<S2m-1 - S2m = u2m 0 (m ? ￥),从而([S2m, S2m-l}是一个区间套.由区间套定理,存后贡滋回前页
前页 后页 返回 证 考察交错级数(1)的部分和数列{Sn },它的奇数项 和偶数项分别为 由条件(i), 上述两式中各个括号内的数都是非负的, 从而{ [S2m, S2m-1 ] }是一个区间套.由区间套定理,存
在惟一的实数S，使得lim S2m-1 = lim S2m = S.m??～m??所以数列S收敛，即级数(1)收敛推论若级数(1)满足巢布尼茨判别法的条件,则收敛级数(1)的余项估计式为[R,| f un+1.对于下列交错级数,应用巢布尼茨判别法,容易检验它们都是收敛的：后贡巡回前页
前页 后页 返回 推论 若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件, 则收敛 级数(1)的余项估计式为 对于下列交错级数, 应用莱布尼茨判别法, 容易检验 它们都是收敛的: 在惟一的实数 S, 使得
1.11+(- 1)"+1(2)二+L+L:-n+12311.11+(- 1)n+1+L ;(3)+(2n - 1)!3!5!7!2413n+L +(-1)"+1+L. (4)+10310210410"10回前页后页
前页 后页 返回