第2章26多元函数微分学定义2.1.4设=g（u，u)，y-以u)是从uOu平面中区域D到zOy平面中区域Q的同胚变换T.若g(u.)，以u，)在D上有一阶连续偏导数（即偏导数是连续函数），则称行列式20aeaua01（也记为J/a(u,)光2dau为该变换T的Jacobi(雅可比)行列式.同理，对于三个变量的情形：f(u,v,w),g(u.w,w).h(u,V,w),y2-其Jacobi行列式为afafafauaud(1y,2)agagagJua(u,u,w)dahahahduouare注若,y,是u，w的函数，而u，u又是，n的函数，则有公式a(r.y,z)a(r.y,z)(u,v,w)a(Ens)a(u,u,z)a(E.ng)例2.1.1解答下列问题：+求f(0.0)，f,(0,0).(1)设f(r.y)=arctan1-ry(2)设f(r,y)=r+(y-1)arcsin/a/y,求f(r,1)(3)设(.y)=zysin(1/ /+),求ar'ay解（1）注意到f(r，0)=arctanx，故f（0,0）=1/（1十α）1x=o=1.由对称性又知f（0,0)=1(2）注意到f(,1)=x,故f(1)=1.1af(r,y)sin(3)rcos(12+2)3/2arVi+y221sin(+y)3/2cosr+yVr?+y?可用对称性立即写出款dy例2.1.2试证明下列命题：(1)设，则=0.r+y"文(2）设u一（-"则u+yu+zu=o
2.1一阶偏导数与（全）微分（主要以二、三元函数为例）.27.+y3（3）设=arctan则+=sin(2）（4）设f(t)可微，=f(Inr+1/），则+=0.证明（1）因为我们有公式2ylnyr-yl+21.(r+y)2x+yrr2r+yy所以+=0（2）因为我们有公式u=u.二,（），=u-u.ryyy所以ru'+yu,+zu=0.2(r-)(+y)2tanz（3）因为sin(22）itan（-)+(y，以及23-31-3+3ry2-2y(-++)(-)2+(3+)2所以得到2*+=22-2+2y2%=2(-)(2+y)=sin(2z)(-)+(+)2(r)2+(r+)2（4）因为f（Inr+1/）/，=一f（lnz+1/)/，所以有+y=f(lnr+1/）-f(lnz+1/y）=0.例2.1.3解答下列问题：r+2y=e.y=e",求(1)2=2r-yd(2)2=arctan(r十y);r=2s-t，-st,求z,z(3)uaretan(zy/2);y=e"，=(ar+1),求dr-5yd_azdzdy5r10(1)解diardad（2-)2(21y)2(2e'-e-)2t,y2+2st(2)2-1+(r+y)21+(2s-7+$)2,1+(r+y)2yts2-2t2=i+(r+)2+i+(+)221+(2s-t2+t)2duauaudyud(3)draraydazd11yewat1+/2)2(ar+1)+ry/21+/2
第2章多元函数微分学28.222axy(ar+1)er(ar+1)(a+1)y+areary+222re2ar+(ar+1)2例2.1.4试用极坐标r=rcoso，y二rsino换写下列微分方程：dy(1)drdydr(2) =y+kr(r+y),r+ky(+y)dt解 (1) 因为密一需/蛋,所以出dy= (sing+ rcos)Ccos-rsing)16dr从而原方程可改写为(rcosogsing+rcoso= 2r singcoso[1+(gsing+rcos)rsingcosg-rsing)recosg-rsing或=sin20[(2+（2）注意到r，0都是t的函数，故可知dy-scoso - rsino de.dr.d=drce sino + rcos dedt'dtdtdt由此导出dsine,dcoso)dedr.1(sing+一dzdtddtdt1dtdy因为原微分方程组可写成崇rsing+krcoso,rcoso十krsing，所以原方程dtd=kr.--1.表示为"dtdt例2.1.5试证明下列命题：(1）设a>6>1.则a>6Fw0.其中（2)设(12，）ER，则ar11..1ri3'2fnW:...：r-x2-1T..+（3）设f(t）=（g（t)，h(t)）是（一1，1）上值域在R2中的连续可微函数.若有f(0)=（g(0),h(0))±0f(0)=(g(0),h(0))=(0,0),则存在e0：0<s<1，使得函数lf(t）（g（t）+h2（t)）1/2在（0eo）上递增
2.1一阶偏导数与（全）微分（主要以二、三元函数为例）.29.证明（1）问题等价于证明不等式Inlna十alnb>Inlnb十blna.令y=lnb>0，Inu>1.这样，证上述不等式只要证明Inz>y（re一e）.Inb-为此，在区域>1,y>0上考虑二元函数f(，y)=re-e.因为f（r，y)=re一ze<o，即对固定的>l，函数f(r,y)是y的单调递减函数，所以f(a.y)<f(r,0)=r-1如果f(r,y)<o显然有lnr≥yf(y）y(re-e）；如果f(y)>0,即e[-e>0,也有Inz>(α-1)y>yf(,y).综上便知在r>1,y>0上lnr>y(re-e）成立（2）易知W中第i行第i列的元素是x-1.若记其余子式为Xij，则W=X从而可得W—之（i-1)±x（j=1.2.…n)。因此.我们有ari-(i-1)x.=(i-1=0.Lar(3）依题设易知(t）=2g(t)g（t)+2h(t)h(t)，且有()= 2g()g(0)g()+2h(h()()=2tLg($)g(t)+h'(≤2)h(t)](0<i,52<t).注意到f（t)的连续性，我们有limg(（)g(t)+h（2)h'(t)]= llf(0) Il2>0.d由此知存在>0使得号f（）2>0（0<t).即If（）I在（0)上递增例2.1.6试证明下列命题：(1）设f(ry)在点（to，y的邻域U上有定义.若有i）f(）在点r=o处连续，(ii)存在M>o,If(ry)≤M((r,y)EU),则f(t,y)点(zo,yo)处连续.(2）设f(r，y)在凸区域DCR上定义.若存在M>0，使得If（r，y）|≤M，If(r,y)<M（(r,y)ED)，则f(,y)在D上一致连续（若D非凸域，则结论不一定真）（3）设f(X)=f(y)定义在R2上.若有(i）对任意的X=（x，y)ER2,均存在极限f(tr,ty)-f(0,0)g(1,y).limt.+0+
第2章多元函数微分学30(ii）对(.y),（2y)ER,以及常数αβ,均成立等式g(r+ay+y)=g（y)+g(2y2)（ii）存在M>0,使得对R2中的点X,=（x1，y）,X2=（12y2）,均有f(y)-f(2ya)Ml-l则f(,)=f(0.0)+g(,)+o(xll）（llx=(+)1/2-0)证明月（1）对任给>0，存在8>0，使得1f()-f(aoy)l<e/2(l-<)现在令一minte/2M.0），则根据中值公式，可知1f(,y)-f(ro,y)<lf(r,y)-f(r,yo)+lf(r.yo)-f(ro,y)=f,(,+(y%))ly-f(,)-f(ro,)≤Mly-+/2<M.%+号=（-<8l-<8)2M（2）设（y），2,y2)是D中任意两点，则由题设知（+一），y2+t(-))ED(0t≤1).令()=f(+t(),+t))(o≤t≤1),则p(t)的导函数有界，而有p(t)=()f((),+())+(-)f(+-)+-))p(0)=f(2,y2),g(1)=f(x.y)应用中值公式，可得（0<<1）(1)(0)=f(,y)f(2,)=()()f(+-)+())+(f(+-)+$(-)),()-f()M-+M-1从而对任给s>0.取一e/2M，我们有If()f(2) <( <, /<).注在R中作点集：J=1）：=—元/2，-3元/4≤y0，以及J2=(（）：元/2<≤元，一3元/4≤元/2）.再令I=(.):--元/2)UJ=1(.)元/2元/2,≤≤/21=（）：元/2元，元/23元/41UJ2记D=IUIⅡUM.且定义函数o,(r.y)E I.sinz+1,(y)EI.f(r.y)2,(a.y)El