1.3多元函数的连续性21（3）易知f(r，1/）=sinl.又在点（ro，1/ro）的邻域U内，当正值ro充分大时，存在（ro，0)EU.此时f(ro，0）=0，故不一致连续例1.3.8试证明下列命题：(1)设f(r,y)在((,y)：r>0,yER")上一致连续，则对任意的ER，存在极限limf(r,y).V(2）设f(ry)在D:(0,1)×（0,1)上一致连续，则f(，y)在D上有界(3）设gEC(R），令f（x，y）=gry）.若f（x,y)在R2上一致连续，则g()=C(常数)证明（1）对任意满足n-→0+（n-c），n→y（n→00）的点列（（y）)，以及任给>0,存在>0以及N，使得当n>N时|—m<8lyu-yml<a(n，m>N)，且If（，y）一f(rmym）|<e.这就是说（f(tny）)是Cauchy列，故存在limf（an.y）.即存在极限limf（r，y）.（2）对取定的rE（0,1），由f(r.）在yE（O,1)上一致连续可知，存在极限limf()=(),limf(y)=().同理，也存在极限（固定yE（o,1)）limf（x，）一（y），limf(z，y)=（y)从而，我们定义f(，1)=o（）f（，）=p（），f(0,y）=（），f(1y）=（y)（其中g（），（y)（i=1,2)皆—一致连续），这个新函数在闭区域[0，1]×[0，1上一致连续，当然是有界的.随之原f(，y)在（0,1)×（0，1)上有界（3）反证法.假定存在，2ER，有|g（）一g（）/=>0.根据f的一致连续性，对e0>0.存在8>0，使得If()-f(",")<(l"-"<,ly-y"<)现在取N，使得|1一2/N<，从而有1g(r2)-g()[=g()g()=(,)f(,)E0矛盾例1.3.9试证明下列命题：(1）设f(r)在区域D=(（r，y)：>0，yER")上连续，且对任意的ER，存在极限limf(z，y)=g(），则f可连续延拓到D=（ry)：≥0,ER)上y+y（2）设fEC)（R'），且作函数F(r,y) = (r) - f(y)（Or-y则定义F(，y)=f（)(r=y)，可使F(.)在R2上连续
第1章多元函数的极限与连续性22证明（1）定义f(0,y）=p（y）（ER），从而只需指出limf（o.y）p(ER），即y)在%ER上连续对任给e>0，存在>0，使得f(r,y)-g()1<e/2(0//<8,0<ly-%<8)从而我们有))p)f(/f()-)I≤e/2+e/2=e(1y-y1<8/2).由此即得所证，(2）显然，F(ry)在r≠y上连续.对。=y。处，根据f（r)的连续性可知，对任给>0，存在8>0，使得f(z) -f() - f(zo) =| f(r+(α- y) -f(ro) /<er-y01.00)由此即得所证
第2章多元函数微分学2.1一阶偏导数与（全）微分（主要以二、三元函数为例）定义2.1.1设z=f(ry)在点（zo.）的邻域上有定义，若存在极限f(ro+At,yo)-f(aa,yo)limAr则称此极限为f(r.y)在点（o.）处关于的（一阶）偏导数.记为（或，f(rayo）或fi(ro.y)，2,lu)ararl((f(0)f(0)为极限类似地可定义Jyf(+A)f()limA.yy对于u=f(ry,)，定义极限f(z0+At.yo,2)-f(xo.yo+20)limAr为f(r.y,z)在点(ro,yozo)处对的偏导数，记为f(10yo20)aff(1o,y0,20)或fi(ro,y020).arar0-t0其它依次类推若=f(t,y)在区域D上定义，且在D内每一点（，y)上都存在关于的偏导数，则a(.或()又成为D上的二元函数.ax由一元函数导数的几何意义，可得二元函数偏导数的几何意义设20=）M（00）为曲面S=f(）上一点考察曲面S与平面y=y的交线，偏导数f（to，）即表示此交线在M点的切线斜率，交线在M。点的切向量为T=（1.0.f（z0，）)（图2.1)同理，f（ra%）表示曲面S与平面a=ro的交线在M。点的切线斜率，交线在M点的切向量为T,=（0.1，（zo，yo）)。注函数z=f(.y)在（2o.%）点的一阶偏导数存在，只说明两个一元函数2=f(，y）和≥二f(zo，)在（zoo）点连续，得不出在（·）点二元连续.如图2.1
:24:第2章多元函数微分学[10f(r.y)lo,zy=o.有F(0,0)=（0.0)=0，显然函数在原点不是二元连续的.定理2.1.1(中值公式）设（xo.)ERD=（(.y)：/-ro/<8,ly-%<a).f(,y)在D上的两个偏导数存在，则对1A8,1<8可得f(r+Ar.+Ay)-f(.y)=f(+Ay)Ar+(o+A)Ay(0.1)对三元函数，类似地可得f(ro+r.+Ay.2o+Az)-f(to,yo+20)=fi(r+Ar.y+Ay,z+A)Ar+f(zo+y+A2+A)Ay+f(00.2+02)(0<01.2.01).定义2.1.2设=f(r,y)在点（ra+o）的邻域上有定义.若对,y的改变量Ar，Ay，的改变量可表示成=f(x+A%+Ay)-f(roy)=AAr+BAy+o(p)(p→0),其中A,B与rAy无关（仅与ro,%有关）p=V+Ay，则称f(,y)在点（ro）处可微，并称A△r+By为F(r.y)在点（ro，）处的（一阶全）微分，记为dz：dz=df(r.o)=AAr+BAy.对三元丽数u一f(r,y，），它在点（to，yo，2o）处可微是指Auf(+%+Ay2+)-f(）=Ar+By+C+()(0)，其中=V△r）+（Ay）+（A），且其微分为du=AAr+BAy+C特别规定自变量的微分为dr二△z，dy二△y.若f在区域D内的每一点上均可微，则称f在D上可微.定理2.1.2若f(r.y)在点(ro，y)处可微，则f(r，y)在(ro,%）处连续，其它类推定理2.1.3若z=f(ry)在点（ro，yn)处可微，则两个偏导数f(ro.%).f(ro.y)均存在.此时，微分就是dz=f（1o，y）du十f（1oyo）dy注（近似计算）设f(，y)在点（oy）处可微，则当l△zl，lAy充分小时，有近似公式f(r+Ary+Ay)f(ro+yo)+fr(xoy)A+f(reyAy定理2.1.4若函数f(r.y)的两个偏导数f(r.y)和f(r,y)在(zo，）点连续（蕴涵着偏导数在该点某邻域存在），则函数f(r，y)在（ro，y）点可微综上可知，函数在一点连续和偏导数存在，是函数在该点可微的必要条件。偏导数在一点连续是函数在该点可微的充分条件，但不是必要条件，例如函数(+y)sin，+#0，+yf(a,y)0.+y=0,它在全平面上可微，但f（r，y)，f（ry)在（O，O）点不连续：先说明它在（0，0）点可微
2.1一阶偏导数与（全）微分（主要以二、三元函数为例）·251f(0+A0+Ay)-f(00)=(A+A)sin4+Ay0-Ar+0.Ay+o(VA+Ay)(Ar.Ay+0),A=f(r+Ar+A)-f(ro.)=f(ro+ry+Ay)-f(ro+Axy)+f(o+Ar)-f(ro)=(r+Ar%+A)Ay+f(ro+A)A(0<<1)=f(.y)A+f(roy)Ay+aAr+Ay其中α=f(+)-fy)β=f(ro+Aryo+02Ay)-fy(ro.y).因为偏导数在（20.y）点连续·所以有aA+Aylima=limβ=0,lim-=0.OAy-0VA+Ay即得=f(roy)Ar+f(ro)A+oV+Ay)按定义知函数在（ro.%）点可微.证毕定理2.1.5（复合函数求导法）设2=F(r，y)在区域D内点（r.y)处可微，函数—pst).y一(s.t)定义在区域G上，值域含于D，且在点（s，t)处的偏导数存在，则复合函数z=fLsp(s.t)，(s,t)]在点(s.t)处偏导数存在，且有（连锁规则）asorasayas'atoratayat其它多元函数可类推注在定理2.1.5中.若f《1，y)只在点（zo，y。）处有偏导数但不可微，则连锁规则不一定成立.例如[rly/V+y,+y+o.f(r.y)0.+=0.易知f(0,0)=f（0.0）=0,且f(r：y)在（0.0)处不可微.此时若取r=t.y=t，则f(t，t)=t//2.故连锁规则不成立、定理2.1.6(中值公式）设>0,f(，)在D=（（,):r-o<8.1y-%<)上可微，则（0<8<1)f(r+Ary+Ay)-f()=f(t+ro+)Ar+f(o+ry+)Ay注2=f(r,y),r=r(s,t),y=y(s,t)，则=fLa(s,t)，y(s,)的微分仍可写为d=dz+dy,其中dr,dy不是改变量而是函数的微分.此公式也称为一阶微分形式的不变性。2.20定义2.1.3若映射f:ECR"-→Q2CR"是双射，且于以及由（f~1。f)（X）=X(XEE)所确定的逆映射子-1Q→E都是连续的.则称了为同胚变换定理2.1.6(Brouwer）设DCR2是区域，f:D-R2是连续的单射，则Q=f(D)是一个区域，且f:D-Q是同胚变换