第1章多元函数的极限与连续性.16:不包含极限点文=eo，导致矛盾.证毕(2）设X。=（zo，%）ER，令=f（r，y），则对任给>0，作区间I=(2oE，2+e)以及闭球列K,=B(X。，1/n)(nEN)，由(ii)知nf(K）=《f(X)).因为（R"\I)nf(K，）)是递减有界闭集列，且其交集为空集，所以存在no，使得(RV)nf(Km)=@.这说明if(X）-f(X)<e（x—X。I1/no），即在（xo)处连续(3）函数f(X)=d(X，F2)/d(XF）+d(X,Fz)即为所求例1.3.3试证明下列命题：(1)设D=(，y）：0<≤1,0≤y≤1)，f(，y)是D上单变量连续的函数又有ECD且E=D.若f(r，y)=0((y)EE),则f(,)=0((，)ED)(2)设D=((r,y)：a<r<b,c<yd)，f(r.y)定义在D上.若f(r,y)是单变量r的连续函数，且对任意的E[c.d]，有limf(r,y)=f(r,y）（对E[a,b]—致)，则f(y)在D上连续(3）设f(，y)在D=((r，)：arb,c<yd)上定义.若f(r，y)对单变量r连续，且有（Lip1)M>0，使得If(r,y')-f(r,y")l<M|y-y"i(a<r<b,c<y,y"<d),则f(a，y)在D上连续（4）设f(，y)是R2上单变量连续的函数，且f(，y)在视作y的函数时是单调的，则f(r,y)在R2上连续证明（1）任取（o%）：0<r<101，往证f（10，y）=0.为此，只需指出，对任给>0，存在E［o，十，使得f(，y=0.我们作a：1>ai>a2>.lima=y>.>yos并记J=[an+1,an(nEN).由E=D可知，存在iEIyEJ使f(y）=0.又由f的连续性，可知存在I2=［α2β，使得f(，y<1（rEI).类似地可知，存在y2EJ2以及闭区间I3C12，使得f（.yz）<1/2（EI3）.继续这一过程，可得闭区间列《I.），点列（y）满足In+CIn,yEJ,If(x,y,)I<i/n(xEIn+i).根据区间套定理可知，存在rEI（nEN），从而有If(，y,)<1/n(nEN).因为y,EJ（nEN)且yy（no），而f(r，y）是单变量的连续函数，所以在上式中令0，导出f（，）=0.（2）设（αo,%）ED.依题设知，对任给>0，存在>0.使得当1α一<8时有1f()f(ao.y)</2,以及
1.3多元函数的连续性17f(.)-f()e/2(l-loarbcyd),从而可得((,y)EDrr<,ly<)/f(ry)-f(ro,y)[<f(,y)f(,y)l+lf(r.y)-f(o,y)<e.（3）注意条件Lip1与上题一致极限条件的比较（4）设（o.%)ER.依题设知，对任给>0，存在>0,使得1f(xo，y）-f(zo%)/<e/2(/y-%/<8).又存在2>0,使得1f(±)f(±)/2()不妨假定f对是递增函数，则当<2，1-≤时，有f(r,yo)≤f(r,y)≤f(r,y+o).f(±o)-f≤f(y±)f(o±)+f(o,y±o)-f(ro,)<e由此即得f(.)-f(o)<e(<,ly-<).例1.3.4试证明下列命题：(1)设D=((，y):a<r<b,c<yd)，f(，y)在D上连续，gEC((a,b))且c<p(r)<d,则F()=f(r,p(r))在(a,b)上连续(2)设D=((,y)：0≤r≤1,0≤1),f(ry)在D上连续.若g（）=max(f(r.y):yE[o,1]),则gEC([o,1]).(3）设D=(y，2）：a≤，y，b)f(，y，)在D上连续.令p(r)=maxmin(f(r,y.z)),则EC(La，b])证明（1）设（αo，%）ED，则由题设知，对任给>0，存在8>0，使得If(,y)-f(ro)<e(-<o,l-y<).记（），%=(），则依条件，存在>0使得()g()=/()因此，对y=()E（c,d)（rE（a，b)），我们有1f(p())-f(og(o))/<(/ -ro<=min(o))即FEC((a,b)),(2）对yE[o,],令g（）=f(，)（rE[o,),易知g()=supig（）：yE[o,1]).注意到f在D上一致连续，故（g（r）是一族等度连续函数.对任给>0,E[0,1]，存在E[0,1]，使得g（z）≤g（r）<g（z）+.又存在>0,使得|g(r)—g()/<e(r—s/<,[0,1]).现在对满足|z的E[o,],存在E[o,1],使得g（)≤g()<gy（)+e.根据等度连续性，又推出|g（zo）一g%（ri）/<e，ig（ro）一g（z）<e.导出
.18.第1章多元函数的极限与连续性g（)<g（i)+e<g()+eg()+2e,g(r)<gy(ro)+e<g(o)+e<gu(r)+2e.这说明lg（）g%（)2e随之有1g（）—g（）/<e（|zo8)，即gEC(Lo,1).（3）令r，y)=min(f(y，)(az，y≤b)，注意到f在D上的一致连续性可知，对a%≤b,>0,存在>0,使得（-<l<)f(ro,yo,)-e<f(r,y,)<f(Io,yo,)+e.由此知(,即，y)在aa，y<b上连续，自然也是一致连续的.因此，存在>0，使得I,y)-"y")<s/2(a≤x,",y,y"b;1x"<8,1-"<o).①现在对任意取定的zoE[a，b]，我们有o,y)-/2<y)<o)+/2([a且/-z<8)从而导出maxty(to,y))-号≤max(y(zy))≤max(y(ro,y))+号又根据式①可推知(xo,to)-e/2≤max(y(xo,y))≤y(zo,1o)+e/2.这说明maxty(te,y))=max(max(y(zoy)),max(y(ro.y)))Symax((ro,y))+e/2.即）<）十.类似地可证）—），证毕例1.3.5试证明下列命题：(1)令D=((r,y)：a<r<bc<y<d)，设f(xy)在D上连续.又令Dz((u,)：a<u<b,c<d',而p(u,)，u,)在Dz上连续，且a<p(u,)b,c<y(u)<d.则F(u,)=f(g(u，),y(u,))在Dz上连续(2）设f(X)=f(，y)在圆周L：十2α2上连续，则存在该圆的一条直径X,X2:lX，=a=X2l，使得f(X,）=f(X2)(3）设f(r，y)，g(r，y)是R2上的m次齐次连续函数，f(r，y)≥0.若x，y)≠(0.0)且f(z,y)=0时有g(,y)>0,则存在α,β,使得αf(y)+g(y)≥(+y)m/2((y)ER)证明（1）设（uo）ED，并记=（o），（uo，），则对任给>0.存在。>0使得
1.3多元函数的连续性Oif(r,y)-f(ro,o)<e( -xl<a,ly-y<).又存在>0，使得当<，-<时有(u,)p(uo,)/o,/y(u,)-yuo,)/<.从而可得p(u,),,)fp(o,),(,) /=F(u,)-F(uo,o)[( uuo <, I-[<).由此即得所证（2）采用新变量r=acoso.yasino，则f改写为f(acos0,asin0)g(0)）（0≤≤2元)令F()=g（+元）一g（9)（0≤0≤元），则FEC([0，元)且F(0)=g（元）一g（0)，F（元）一g（2元）一g（元）.注意到g（0）=g（2元），故知F（0）=一F（元）.从而由中值定理知，存在%E[0，元]，使得F（9）=0，即g（0）g（十元）.这就是说f(acosho,asing）f(-acoso,-asing).（3）令D=（（α,y)：2+y=1),F=Dnf-1（0），则F是有界闭集，且由题设知g(，y)>0(ry)EF).从而对某个>0，有g（r,y)≥2e((r,y)EF).因此，存在开集G.FCG，使得g，y)≥eo（(r，y)EG).此外，又存在8>0，使得f(t,y)≥((,y)EDIG).因为可取G，使得（O，0)EG，而且根据（齐次性）（X一（z，y)）f(.y)=lxll"f(x/lxll),g(x,y)=lx"g(x/lxl),可知f(xy)/ IXll"≥(X/ llXIl ED\G);g(,y)/ lxI"≥(X/ IXllEG).现在令α=1/8，=1/e，我们有αf(r,y)+g(,y)≥ llxlm((,y)≠(0.)).对于(x,y)=（0,0)，结论自然成立，例1.3.6试证明下列命题：（1）设f(，y)在[a，]×[c,d］上连续，g（r))是[a,b]上的一致收敛函数列，c<g（）)≤d（nEN)，则F（）=f，g（）在[a，上一致收敛(2）设D=((,y):0<r,y≤1)，f(，y)在D上连续，令B,(f;r,y) =Zchf(,y)r*(1-r)"*((r,y)ED),则limB,（f；r，y）f(r，y)（关于（x，y)ED-致）.证明（1）注意到f在D上一致连续，故对任给e>0，存在8>0，使得f(r,y)-f(r,y")<e(rE[a,b];y,y"[c,d且ly-y"<8).因为（g（r）)是一致收敛列，所以存在N，使得IP+(r)-,()/<(n>N.EN,rE[a,b])
.20第1章多元函数的极限与连续性从而视y=中+（），y"=（），可知/ f(+pn+())-f(,p,())[<e(n>N,EN,E[a,b]).这就是说，F,（)在[a，b]上一致收敛(2）注意到Cr*(1—2）"-三1,故知1 B,(f;,)(,) =[(,)f()Jc(1)"-Z+)f()h(1)181<+2Mr(1-)(I f(r,y) /<m),82其中，由f的一致连续知，当一"≤时有f，)一f(")<例1.3.7试证明下列命题：（1）f(y)=+y在R上-致连续(2）f(，）=sin（元/(1——））在D=（（）：+<1)上不—致连续（3）f(r，y)=sin(ay)在R2上不一致连续证明（1）对（1,），（22)ER，我们有不等式()(+)+((+)f(y)-f() +++lla+nV+V≤ I+ 1.由此即可得证。（2）显然，f（1，y)在D上是连续的.取两个点列（0<<2元）：(x,=(xm,yh）=(V1-1/2n.coso,V1-1/2n.sing),(Y,=（x,y）=（V1=-2/(4n+1).coso,V1-2/(4n+1)sing)，则可导出llX-Yl=V-+(-y2=|V1-1/2n-V1-2/(4n+1)/-→0（n→00),1f(X,)-f(Y,）=sin(2n元）-sin(元/2+2n元）|1.由此即可得证