1.2多元函数及其极限11在JXJ2上，oEJ且g(,)EI(0</r-<8,EJ2).若有limg(r.y)=p(y）（对yEJ2一致)，(y)EI则limfg（r，)=f(p（y））（关于yEJ-致）(2）设D=()a≤≤b0≤y<f(y)在D上关于变量是连续的，又在D内当y递增趋于y。时，f(r，y)随也递增且收敛于（r)（a<r≤b)，则limf(,y)=g(r）（关于E[a,b]一致).（3）设定义在[=[a，b][c,d上的f(r，y)是单变量α的连续函数，又yE[c,d],limf(,y)=()(关于rE[a,b]致),则EC([a,b]).证明（1）依题设知，对任意的（）CJ：→ro（n→oo），有limg（，y）=p(y)（关于yEJ2一致）.从而由f的一致连续性就有limfg（rny)=fLpy）（关于yEJ一致），由此即得所证(2)取y：0<y<y<yn+1(nEN),且yy(n-+00),并记()=f(,y）(a≤r≤b)，则依题设知limp（r）=p(）.从而对任给e>0，以及任意的rE[ab]，有指标N，使得|（z）一p(z)|e.而由连续性又知，存在>0,使得Pn(t)-(t)/<e(lt-<).因为（r）≤中u+（），所以有,(t)p(t)<e(tE(-,+o),n≥N).这说明（r一，r十）)形成闭区间[a，的一个开覆盖，因此根据有限覆盖定理，立即可知当n-oo时，（r)是关于E[a，b]一致收敛于()的.证毕（3）设E[a,b].易知对任给0,存在>0以及y:ly一%<,使得 f(o,y)-p(o)<e/3,1 f(r,y')-p()<e/3(E[a,b])根据f对单变量的连续性，还存在>0，使得1f(r,y)-f(1o,) l<e/3(l -xo/<).从而我们有不等式I()p()<l()f()f()-f(y)+f(o)p()1</3+/3+e/3()例1.2.14试证明下列命题：（1）设定义在D=（()：0<+1)上的f()满足i）对任意的<[o，2元]，有limf（rcos，rsino）=0(ii）存在M>0,使得对任意的（xi，y,)ED(i=1,2)，有
*12.第1章多元函数的极限与连续性f)f(2)≤M(+-),则limf(1,y)=0.（2）设fEC（[1,ooJ)，且存在lim（r）=A.若f（r）在[1,co）上一致连续则limf()=0.(3）设f(r.y)是定义在D=（x，）：r>0，y>0）上的正值连续函数（见1.3节），且对每个变量均是递增的，又存在α0，使得f(r,r)>r(o<r<a),f(r,r)<(r>a).若对给定的a>0.a2>0，令an=f(a-j，an-2)（n>2），则a,→a(n-→o）证明（1）对点列，y)）：r-0y→0(n-00）以及M>0存在N当n，m≥N时有|a一Tm|+ly,一ym|<e/M.从而知If(1ny,)-f(rmym)/<M.=s(n,m≥N).M即《f(r，y,））是R’中的Cauchy列，故存在，lim，f(r.y)=A.由（i)即知A=0.（2）为证limf（r）=0.只需指出lim lim (r+y)-f(a) = lim limm f(a+y)-f(r)yy为此，令g（y)=f(+y)一f()/，我们有(i)limg(r,y)=(A-A)/y=0（y>0)（ii）因为f（r）在[1，αo）上一致连续，所以对任给>0，存在8>0，使得f()-f(")<e(i-").从而有lg(r,y)-f(r)/=lf(r+oy)-f()[<e(0<<8,rE[1,0),0<6<)这说明limg（r.y）=f（r）（对r一致）.从而根据例1.2.12(2），即得所证.(3）易知f(a，a）=a，令b,=bz=minai,a2)，b,=f(bu-1sbn-2)(n>2)若minau，az)<a，则(b)是严格递增列，且b<a(nEN).若minai，az)>a，则(b）是严格递减列，且b≥a（nEN).由此可知b-a(n-→0o)，显然a<b（nEN).现在令c=c2=maxa1a2)，c,—f（c-1，C-2）（n>2），则同理可证c→a（n-o）.又有c≤a（nEN).这说明a-a（n-o）。注特例：ai>0.a2>0.an+2=Va+a+（n=12，)，则令f(.y)=V+/y，可知an--4(n-00).例1.2.15试证明下列命题：（1）设f(r.y)是R2上的m次齐次函数，且在有界区域上有界，则limf(ry)=o..y)
1.3多元丽数的连续性:13（2）（内积的连续性）设R"中的点列（X），(Y）满足limX=Xo，limYY。,i则<X,Y>-→(X,Y。>(k-→Co).证明（1）不妨限制在范围2十y≤1内.令r=rcosa、y=rsing,则由题设知(lf(ry)<M,r+y≤l)f(ry)=f(rcoso,rsing)="f(coso,sing).从而有lf(.y)≤r"/f(coso,sin)Mrmo((r，y)→(oo)).（2）依题设知，存在M>0使得YII≤M（kEN）.令M=max(M，X。，则对任给e>0,存在N，使得X-Xli<e/2M,IY-Y。<e/2M(k≥N)从而当k≥N时我们有<X,,Y,)-(X,,Y> /=/<X,Y)-(Xo,Y>+(X,Y)-<Xo,Yo>I=|<X-X,Y>+<X,Y-Y。>I≤I<X-X,Y>/+I<Xo,Y-Y><X+-<e/2+E/26.1.3多元函数的连续性定义1.3.1设f:ECR"R"，X,EE.若对任给e>0，存在8>0，使得If(X)-f(X)He(XEE且X-X<8),则称「在X。处连续，当然，若X是E的孤立点，则于在X。处连续，若XEE，则f在X。处连续就是存在极限limf(X)=f(x.).X--X0XEE此外，若于在E的任一点处皆连续，则称于在E上连续，记为fEC(E，R）.C(E,R'）简记为C（E).易知函数的连续性对四则运算是封闭的；f在X。处连续的充分必要条件是：对E中任-收敛于X。的点列X）.均有f(X）→f(X)（k0).下述性质成立：（1）若fEC（E)，即f（，2，""，）是E上的n元连续函数，则固定，，，-1+，.If(，,r）是单变量工的连续函数.（2）设f:ECR-R"是向量函数：f(X)=(fi(X),f2(X),"".f.(X)),fu.E-R",则了在点X。EE处连续当且仅当，每个分量函数f（k一1.2，，n)在X。处连续定理1.3.1设FCR"是有界闭集，FEC(E，R"），我们有（1）f(F)CR"是有界闭集（2）了在F上一致连续.即对任给e≥0，存在8>0，使得f(X)-f(X)e(XI.XEF,X-X<)
14.第1章多元函数的极限与连续性(3）m=1时，f(X)在F上可取到最大、最小值，即存在F中两点X，X2，使得f(X)≤(X)≤f(X2)(XEF).定理1.3.2设D是R"中的连通集，FEC(D).（1）若有D内两点X.X2使得f(X）≤0.F（X2）>0则存在X。ED.使得FX。）=0.（2）f（E)是连通集例1.3.1试论下列函数的连续性：sin(ry)/+y，(r,y)(o,0)(1) f(r,y)=0,(r,y)=(0,0).2y/(2+y),(r,y)半(0,0),(2) f(x,y)=0,(r,y)=(0,0).sin(1/y)，y0(3) f(r,y)=0,y=0.In(1+ry)/r，r+o,(4) f(r,y)==0.y,{O，是无理数，(5)f(r,y)=y，r是有理数(6) f(r,y,2)=y-2++解（1）注意到2y≤+y，我们有1f(r,y)i≤/sinzy//2/ry≤V/y//2sin/ry1//ry((a,y)(0,0)).由此可知lim。f(r，y）=0=f(00），即f在点（0,0)处连续)（2）注意到limf（1/n，1/n）=1，limf（2/n，1/n）=4/5，故f在点（0，0）处不连续（注意，是单元连续的）.(3)设gER，且令y=2/(4n+1)元，no/(n+1)（nEN),则y→0,→（n→0）且知（设0)limf(te,y,) = lim ntgsi(4n1)=f(r00)sin2n+1即f在点（o0)（zoo)处不连续.因为f(，y)=|rsin(1/y)<|a，所以f在(0，0)处连续（4）注意ry>一1.显然，f在≠0的点处是连续的.对r=0：(i）在（0,0)处，对任给:0<e<1则在|x|<e，lyl<e时有in(+y)//lzy/=ylIf(r,y)-f(0,0)/Iyl,r=0.即于在（0,0)处连续
1.3多元函数的连续性/15（ii）在（0.）%≠0）处.对：01，存在：0<</2（1%|+1)，使得In(1 + ry)(0.0,).ay从而我们有f(ry)-f(o,)/=/[ln(+y)/ay-]+(y-)l≤(/31+8)e/2(/1+1)+8<e/2+e/2=.这说明f在（0，%）处连续（5）考察点（zo，y）的邻域U内的值，我们有(i）若%≠0，则在U内f可取零值，又可取值y，f在点（zo，y）处不连续(i）若y=0,则在U内f的最大值为lyl，这说明f在a轴（y一0)上连续（6）注意到f(0.0，）=-1，f（，y，0）=1，故f在（0,0,0)处不连续例1.3.2试证明下列命题：(1）设f:R2-R满足：i）f(r.y)是单变量连续的，(ii）若KCR2是有界闭集，则f(K)CR'是有界闭集，则f(r,y)在R上连续（2）设f:R-→R满足：(i）若KCR2是有界闭集，则（K)CR'是有界闭集，(ii）若(K,)是R2中的有界闭集列，且有f(NK.)-nf(K.),K,DKnI (nEN),则f(ry)在R2上连续（3）设F，F2是R"中两个互不相交的非空闭集，则存在fEC(R"），使得G) 0<f(X)≤I(XER").(ii)F=(X:f(X)=1);F2=(X:f(X)=0).证明（1）只需指出f在（0，0)处连续即可（一般情形作变量替换），且不妨假定f（0，0)=0（否则，加一个常数）反证法.假定f在（0,0)处不连续，则存在e>0，以及点列（（，y）)：（a，y）-(0,0)(n-→00),使得|f(xyn)/≥eo(nEN).根据f对变量r的连续性可知，存在>0.使得「f(r，0)/<e/2（α|<).由此知存在N，使得|<(n≥N).从而有|f(，0)|<e/2(n≥N).取定n≥N，注意到f(rn，y)对y连续，故依中值定理知，存在y0<y<yn，使得|f(，y）nE/（n+1).由于-0（n-），故y-0n-→00）.因此，K（z.y）：nN)U(（0，0)）是有界闭集.根据题设，f(K)是有界闭集.但是，点集f(K)=(neo/(n+1):n≥N)U(0)