第1章多元函数的极限与连续性6（3）注意到f(1/n元，y）=0，f(2/（4n+1)元，y）-ysin（n-o），故知累次极限不存在.此外，因为有0<|f(z，y)/≤||+ly,所以，limf(r,y)=0(.)-+(0.例1.2.4解答下列问题：(1）试求f（，y）=（+4r-4y)/（+6y-6）当点（，y）沿曲线y+y一x=0趋于（0,0)时的路径极限[，≤或0，的向经极限（包括累次极限），(2）试论f(r.y)=，[>或0(3）试论f(r，y)=e-（-"在动点=tcoso,y=tsing以t→十oo时的极限，解（1）易知该路径曲线在原点的切线有两条：y=士α，因此用变量替换y=tr，该曲线及其极限过程可表示为x=(l-t)/t,y=1-t,(a,y)→(0,0)~t→±l.从而我们有f(a,y)= lim (-)/+4(1-)/=41=t)lim±i(1-t)2+6(1-t)-6(1-t)/t(r,y)3/2,t→+1,-2/3,t→-1.（2）易知各方向的方向极限为0，累次极限为limlimf(r,y)=limo=0,limlimf(r,y)=liml=1.y-*0 X-y+((3）令F(t，0)=f(tcoso,tsin)，则F(t.0) tcos*0e-o00mio(≤≤元).若0=士元/2，则F（t，土元/2)=0.从而limF（t，士元/2)=0.若士元/2，则cos半0，且知lim（t?cosa一tsing）=十8.从而依LHospital法则可得2ttlimF(t,0)=cosolimcoslimo(2tcos-sing)e0-necp-=cos9lim(limf(n,n)=+0)0(cos-sin0/2t)0-in例1.2.5试论下列函数f(r，y)在（0,0)点处的重极限：?+y?1+yyy(4)(3)(2)(1)12+y+(1-)2.14+2r+yr+y?-(6)22y21+y3(5)(7)|y/1x（8)ly/lnll.r+yr3+y3解（1）考察向径极限，即令y=k，我们有1+k(1+)2limf(x,kr)=lim-[(1+)+(1-)"1+k+1-）2
1.2多元函数及其极限由于可取不同值，故重极限不存在（2）limf(r，kr2）=k/（1十k2），重极限不存在(3）注意到f(，k）=k/(1+)z-0(x-0，又有f(,+)=(2+)/1(r→0),故重极限不存在。（4）注意到f(，0)=1/-→十00(-0），又有limf()=lim(+)/(+)=1,故重极限不存在。（5）注意到f（，0）=→0（-→0），又有limf()=lim[+（—)/=lim[1+（-=1故重极限不存在（6）注意到f（，）=/2-0（-0），又有-2+61limf(r,-)lim03-35+63故重极限不存在。（7）令=e-/(>0)，易知0(0)，又有limf(,e-/zl) limel/--/)= limelr(-/lzl) = e~^,7+0Y+故重极限不存在(8）注意到f(,r)-0(-0).又有f(，a/n)=al，故重极限不存在例1.2.6试证明下列极限等式：121[3/2+y(1)lim=0.lim(2)=0(0 0) +y2T.w(++)(0.0+yIy(3)lim0(1,3)(0.0)Vi?+y2证明（1）只需注意/[3/2232 /y||y|1/2Iy /1/200(y→0).r+y?+y?22（2）只需注意r+y2ry2ry(r+y)-ry++y12+y22+2（也可采用下一题的解法）2（3）令=rcost，y=rsint，则rylimlim1rsintcost≤limr=0.?+y2(r.y)-+(0,0-
第1章多元函数的极限与连续性例1.2.7试证明下列极限等式：sin(+y3)sinrylim(1) [==0(2)[=lim+y2+(0.0)T.Vrta证明（1）令=rcosoy=rsino，并注意不等式sin(+y)r+y=/r(cos+sin*)/≤/2r1r2+v2+ysinrysinry:1(x0)（2）注意rc1试论下列函数f(a.y)在点（O,0)处的重极限：例1.2.8(1)(r+y)ln(r+y).(2)In(1+ry)/(z+tany).(3)(r+y)y解（1）令=rcosa.y=rsing，我们有1f(r,y)[=/(coso+sing)In2|≤/4rinr/.故f(,y)-→0((T,y)-→(0,0)).（2）注意到f(r，0)一0，另一方面又有-12f(r, -r) = ln(1-12).In(1—22)--tanrr-tanrelim In(1—±2)-1/2lim=1，=+8.tanz-0r故重极限不存在。（3）取对数再用参变量，我们有f(ry)=eryn+)eP+n+y),2+y22n3+y2)limlime= 1例1.2.9试求下列函数f(r，y)的累次极限：I=limlimf(ry),Iz=limlimf(r,y)+yla=faT(1) (2)1+ry16-01ry元1(4)tan(3)sin21+r/hry(5)log,(r+y)2/2+11+y/2=0：12—limlim早（1）1,=limlim解+1+y/?o/y+y2I（2）注意到lim=1，lim=十（>0），故I=2,1=1.T元X元=1故=0，12=1=0,limsin（3）易知limsin2r+y2+ypc
1.2多元函数及其极限（4）因为我们有limf(，y）=0（r≠o），以及imf(r.y) = lim tan/++(1+y)- = 1,ry/(1+ay)所以,=0,12=1.(5）改写f(,)=ln(+y)/nr(>0,+>0,1)，易知In(+)=1,I=1.limInr此外，因为我们有In(r+y)8,10,limInr8，→08In(r+y)8,y0,limInr+8，8I+In(r+y)lim=1（(y=0),In.+所以不存在limf(r，y).从而I2不存在。例1.2.10试求下列函数(x，）的重极限I：r+y((1)(2)r2-ry+J(3)(2+y2)e-(r+)L(4)（(5)（1+解（1）注意到+≥y故可得0I=0.-rv+VTv2（2）注意到0<f(ry）=故1=04++V(3）注意到f(ry)=r/er+y+y/e+r/e+y/e故I=0（4）注意到0<f(.y)≤（1/2)，故【=0.（5）取对数，我们有limf（，y）=limel1+1//1+/n)=e例1.2.11试论下列函数f(r，y)在指定点的极限状况：(1) er/P+y),(0,0).(2)e2-y. sin(2ry),(-00,+00).解（1）因为f(，y）=e0/r，所以当cos0<0即元/2≤0<3元/2时，极限存在。（2）作变量替换r=rcoso，y=rsing，我们有
.10:第1章多元函数的极限与连续性e 2.sin(sin20).limf(r,y)=lime由此可知，当cos20<0或 sin20=0即0，0，0=0.0=元时极限44存在，例1.2.12试证明下列命题：(1）设f(r，y)在区域D上定义，（ra，。）ED.若(i)limf(ry)=A，(ii)limf(x,y)=p(y）（yy),(x.y)-(ay则limlimf(r，y)=A.（2）设f(，y）在区域D上定义，（ro，y）ED.若(i）limf(r，y）=（y）（yy），(ii）存在>0,1=,0<o<，使得limf(r,y）=p）（关于EI-致)，则limlimf(r，y)=limlimf(r，y).YnEnV月（1）只需指出存在极限lim（y），这是因为由此必知其极限为A.事实证明上，对任给>0，根据题设可知，存在0，使得If(,)-A<,f(,)-()(o<l-1,-%<8)由此推得|g）-A2（0<-<).现在对上述，，在0<时，我们有If(r,y)-f(,)<(ol-yl,ly"-y8)令r→ro，即得|g（y）一g（y")<e.这说明存在极限lim（y).（2）由（ii)知，对任给>0,存在8>0，使得I f(.)-p()/<e/2 (0<l - <8,EI).从而当0<iy-%l<且EI时，就有f(，y)-f(r.y)<e.令→ro由i)可得|以y）一以y）≤e.这说明存在limy）一A因此，存在8>0：之8，当0<ly-<时，导出f(,y)-e/2<p()<f(r,y)+e/2 ( D),以及A一e/2<以y）<A十e/2.综合上述结果，我们有A-ey)-e/2<limp(r)limg(x)<y(y)+e/2A+e.因为e是任意给定的，所以limp(）=A.例1.2.13试证明下列命题：(1）设f(）在区间ICR上一致连续，J1，J2是R中两个区间，g（，y)定义