*$2上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质第六讲上下极限的基本性质数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 *§2 上极限和下极限 上（下）极限的基本概念 上（下）极限的基本性质 第六讲 上下极限的基本性质
*$2上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质上(下)极限的基本性质由上、下极限的定义，立即得出：定理7.5对任何有界数列(x,，有lim Xn ≤ lim Xn.(1)n→n→下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关系定理7.6有界数列(x，存在极限的充要条件是：lim Xn = lim Xn(2)n>0n>数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 *§2 上极限和下极限 上（下）极限的基本概念 上（下）极限的基本性质 定理7.6 定理7.5 上(下)极限的基本性质 由上、下极限的定义, 立即得出: 对任何有界数列 { }, xn 有 下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关系. 有界数列 { } xn 存在极限的充要条件是: lim lim . n n n n x x →∞ →∞ ≤ (1) lim lim . n n n n x x →∞ →∞ = (2) 上（下）极限的基本性质
*$2上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质定理7.7设(x,}为有界数列，则有1°lim x，=A 的充要条件是：对于任意的 ε>0,n→0(i) 存在 N, 当 n>N时,x,<A+ε;(ii) 存在{xn}, Xn >A-8, k=1,2,L .2°lim xn=B 的充要条件是：对于任意的 ε>0,n->8(i)存在 N,当 n>N时，x,>B-8;(i) 存在(xn}, Xnk<B+8, k=1,2,L .证 1°和2°在形式上是对称的，所以仅证明1°数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 *§2 上极限和下极限 上（下）极限的基本概念 上（下）极限的基本性质 定理7.7 设{ } xn 为有界数列, 则有 1 lim n n x A →∞ = o 的充要条件是: 对于任意的 ε > 0, (i) 存在 N, 当 n > N 时, x < A+ ε ; n (ii) { }, , 1, 2, . n n k k 存在 xxAk >− = ε L 2 lim n n x B →∞ = o 的充要条件是: 对于任意的 ε > 0, (i) 存在 N, 当 n > N 时, x > B − ε ; n (ii) { }, , 1, 2, . n n k k 存在 xxB k <+ = ε L 证 1 2 和 在形式上是对称的, 所以仅证明 . o o 1o 上（下）极限的基本性质
*S2上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质必要性 设 limx.,=A.因为 A是(xn}的一个聚点,所以存在(xm},使得 xnk→A(k→0),故对于任意的>0, 存在K>0,当k>K时,A-<xnk'将{xn,}中的前面K项剔除，这样就证明了(i)又因A是x,的最大聚点，所以对上述 ε,在区间[A+ε，+0）上，至多只含{x,}的有限项.不然的话，因为(x}有界,故{x,}在【A+ε，+）上还有聚点，这与A是最大聚点相矛盾。设这有限项的最大下标为N，那么当n>N时Xn<A+.数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 *§2 上极限和下极限 上（下）极限的基本概念 上（下）极限的基本性质 必要性 lim . n n x A →∞ 设 = 因为 A 是 { } xn 的一个聚点, 所以存在{ }, nk x 使得 ( ), nk x Ak → →∞ 故对于任 意的 ε > 0, 当 k > K 时， . nk A x − < ε 将{ } nk x 中的前面 K 项剔除, 这样就证明了(ii). [ ,) A + +∞ ε 上, 至多只含 { } xn 的有限项. 话, 因为 { } xn 有界, 这与 A 是最大聚点相矛盾. 又因 A 是 { } xn 的最大聚点, 所以对上述 ε , 存在 K > 0, 在区间 不然的 { } 故 xn 在 [ ,) A + +∞ ε 上 还有聚点, 设这有限项的最大下标为 N, . n x A < + ε 那么当 n > N 时, 上（下）极限的基本性质
*$2上极限和下极限上（下）极限的基本概念上（下）极限的基本性质生 任给ε>0,综合 (i) 和 (ii), 在(A-ε,A+)充分性上含有x，的无限项，即A是x，的聚点A'-A、由于满足而对于任意的 A'>A,令=2A+A'A'+AA'-8Xn>A+&00=22的项至多只有有限个,这说明在（A'－8,A'+8）上也至多只有x的有限项，故A'不是（x，的聚点，所以A是{x,}的最大聚点·从而有lim xn = A.n→8数学分析第七章实数的完备性高等教育出版社
数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 *§2 上极限和下极限 上（下）极限的基本概念 上（下）极限的基本性质 充分性 任给ε > 0, 综合 (i) 和 (ii), 上含有 { xn } 的无限项, 0 2 n A A x A ε + ′ >+ = 的项至多只有有限个,这说明在 ( , ) 0 0 A′ − ε A′ + ε 在 (A− ε , A+ ε ) 即 A 是 { xn } 的聚点. 而对于任意的 A′ > A, 0 , 2 A A ε ′ − 令 = 由于满足 lim . n n x A → ∞ = { xn 上也至多只有 } 的有限项, 所以 A 是 { } xn 的最大聚点 . 从而有 故 A′不是 { xn } 的 聚点, 上（下）极限的基本性质 0 , 2 A A A ε ′ + ′ − =