例1. = /x(x3 - 4cos x-sinl),求y'及ylx=l.解: y'=(Vx)'(x3 - 4cos x - sinl)+ /x(x3 - 4cos x - sinl)-4cosx-sin1)+x(3x+4sinx）X(1-4cosl-sin1)+(3+4sin1)277sinl-2cosl一22目录上页下页返回结束机动
例1. 解: + 4 sin x ( 1 21 − sin1) ( 4 cos sin 1) , 3 y = x x − x − y = ( x ) + x = ( − 4 cos − sin1) + 2 1 3 x x x 2 x ( 3 x ) y x=1 = − 4 cos 1 + ( 3 + 4 sin 1) sin1 2 cos1 27 27 = + − ( 4 cos sin 1) 3 x − x − ( 4 cos sin 1) 3 x − x −
- u'v-uy'(3)(")=证:设f(x)=淄则有v(x)u(x+h)u(x)f(x+h)- f(x)v(x+h)v(x)f'(x)= limlimhhh-→0h-0v(x+ h) -v(x)u(x+h) -u(x) r(x) -u(x)hh= limv(x +h)v(x)h→0u(x)v(x)-u(x)v(x)故结论成立v(x))==Cv推论：（C为常数）上页目录下页返回结束机动
+ = → ( ) ( ) lim h 0 v x h v x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v x h v x u x h v x u x v x h + + − + h u ( x ) v ( x ) (3) ( ) 2 v u v u v v u − = 证: 设 f ( x) = 则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → h h lim →0 = , ( ) ( ) v x u x ( ) ( ) v x h u x h + + ( ) ( ) v x u x − h u(x + h) − u ( x) v(x) h v(x + h) − u( x) − v( x) 故结论成立. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u x v x − u x v x = 推论: ( ) 2 v C v v C − = ( C为常数 )
例2. 求证 (tan x) = sec2 x , (csc x)'= -csc xcot x .sinx(sinx)'cosx-sinx(cosx)证: (tanx)1cos"xcOSxcos' x +sin' x = sec? xcos"x(sinx)"-cosx(csc x)"2sinxsinsin'xx=-cscxcotx类似可证:(cot x)"=-csc2 x，(sec x)'= sec xtan x上页目录下页返回结束机动
(csc x) = sin x 1 x 2 sin = − (sin x) x 2 sin = 例2. 求证 证: = x x x cos sin (tan ) = x 2 cos (sin x) cos x − sin x (cos x) = x 2 cos x 2 cos x 2 + sin x 2 = sec − cos x = − csc x cot x 类似可证: (cot ) csc , 2 x = − x (sec x) = sec x tan x
二、反函数的求导法则定理2. 设 y= f(x)为x= f-l(y)的反函数,f-l(y)在y的某邻域内单调可导，且「f-（y)"0dy11或f'(x) =dx[f-'(y)]"dxdy证：在x处给增量△x±0，由反函数的单调性知Ay△y= f(x+△x)- f(x)± 0,ArAxAy口△x→0时必有△y→0，因此且由反函数的连续性知11Af'(x)= limlimAx[f-'(y)]Ax-0△xAV-0目录上页下页返回结束机动
f (x) = 二、反函数的求导法则 定理2. y 的某邻域内单调可导, 证: 在 x 处给增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 ( ) ( ) , 设 y = f x 为 x = f −1 y 的反函数 f −1 ( y) 在 [ ( )] 0 1 − 且 f y d d = x y 或 x 0 , y = f ( x + x) − f ( x) 0 , = x y y x x → 0 时必有 y → 0 , x y f x x = →0 ( ) lim lim →0 = y y x y x d d = 1 [ ( )] 1 − f y 1 1 [ ( )] 1 − f y 1 1