2167章多元函数微分学如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x(或y)的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为z=f(x,y)对自变量x(或y)的偏导函数，记作(或)，(或)三(或=).f(x,y)(或f(x,y)),axayax（以ay由偏导函数的概念可知，f(x,y)在点(xo,y)对x的偏导数f(xo,%)，显然就是偏导函数f(x,y)在点（xo,y)处的函数值；J,(xo,y）就是偏导函数f,(x,y)在点(xo,%)处的函数值．就象一元函数的导函数一样，以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数，例如三元函数u=f(x,y,=)在点（x,y,=)处对x的偏导数定义为f(x+Ax,y,=)- f(x,y,=)f.(x,y,=)= limAxrY→其中（x,y,=)是函数u=f(xy,=)的定义域的内点，它们的求法也仍旧是一元函数的微分问题至于实际求z=f(xy）的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看做固定的，所以仍旧是一元函数的微分法问题，例1求z=x+y2-xy在点(1,3)处的偏导数az解因为=2x-y,=2y-x，所以axayazaz=2-1-3=-1,=2.3-1=5ax=2ay=2例2求z=/ln(xy)的偏导数解求%时，把少看作常量，求求兰时，把x看作常量，因此axay111Oz1azax2 /n(xy)xy2x /in(xy)ay 2y/in(xy)1102xOz例3设z=x(x>0,x*1)，求证：=2=.yaxInxoy证因为兰z= JxJ-l,=xinx，所以axay+1x'Inx=x+x=2z.yax InxayInxyQuQuOu的偏导数例4求u=x+yaxaya23233.x23du解(r+y(r+y) =(x +y")"ax+you323y23ou_--oy(x+y)2azx+y2例4说明偏导数的记号是一个整体记号，不能看作分子分母之商.这与一元函数y=(t)的导数会dx是不同的，后者是函数微分dv与自变量微分之商2．偏导数的几何意义设M(xo,yo,f(xo,y)为曲面z=f(x,y)上一点，过M。作平面y=y，截此曲面得一曲线
216 7 章 多元函数微分学 如果函数 z = f (x, y) 在区域 D 内每一点(x, y) 处对 x (或 y )的偏导数都存在，那么这个偏导数就是 x 、 y 的函数，它就称为 z = f (x, y) 对自变量 x (或 y )的偏导函数，记作 ( , ) x f x y (或 ( , ) y f x y )， z x ¶ ¶ (或 z y ¶ ¶ )， f x ¶ ¶ (或 f y ¶ ¶ )， x z (或 y z )． 由偏导函数的概念可知，f (x, y)在点 0 0 (x , y ) 对 x 的偏导数 0 0 ( , ) x f x y ，显然就是偏导函数 ( , ) x f x y 在 点 0 0 (x , y ) 处的函数值； 0 0 ( , ) y f x y 就是偏导函数 ( , ) y f x y 在点 0 0 (x , y ) 处的函数值．就象一元函数的导函 数一样，以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数． 偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数， 例如三元函数u = f (x, y,z) 在点(x, y,z ) 处对 x 的偏导 数定义为 0 ( , , ) ( , , ) x ( , , ) limx f x x y z f x y z f x y z D Æ x + D - = D ， 其中(x, y,z ) 是函数u = f (x, y,z) 的定义域的内点，它们的求法也仍旧是一元函数的微分问题． 至于实际求 z = f (x, y) 的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个 自变量是看做固定的，所以仍旧是一元函数的微分法问题． 例 1 求 2 2 z = x + y - xy 在点(1,3) 处的偏导数． 解 因为 2 z x y x ¶ = - ¶ ， 2 z y x y ¶ = - ¶ ，所以 1 2 2 1 3 1 x y z x = = ¶ = × - = - ¶ ， 1 2 2 3 1 5 x y z y = = ¶ = × - = ¶ ． 例 2 求 z = ln(xy) 的偏导数． 解 求 z x ¶ ¶ 时，把 y 看作常量，求 z y ¶ ¶ 时，把 x 看作常量，因此 1 1 1 2 ln( ) 2 ln( ) z y x xy xy x xy ¶ = × × = ¶ ， 1 2 ln( ) z y y xy ¶ = ¶ ． 例 3 设 ( 0, 1) y z = x x > x ¹ ，求证： 1 2 ln x z z z y x x y ¶ ¶ + = ¶ ¶ ． 证 因为 z y 1 yx x ¶ - = ¶ ， ln z y x x y ¶ = ¶ ．所以 1 1 1 ln 2 ln ln x z z x y y y y yx x x x x z y x x y y x ¶ ¶ - + = + = + = ¶ ¶ ． 例 4 求 3 2 2 z u x y = + 的偏导数 u x ¶ ¶ , u y ¶ ¶ , u z ¶ ¶ ． 解 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) x x u z z xz x y x x y x y x y ¶ = ¢ = - + ¢ = - ¶ + + + ， 3 2 2 2 3 ( ) u yz y x y ¶ = - ¶ + ， 3 2 2 u 3z z x y ¶ = ¶ + ． 例 4 说明偏导数的记号是一个整体记号， 不能看作分子分母之商． 这与一元函数 y = f (x) 的导数 dy dx 是不同的，后者是函数微分dy 与自变量微分dx 之商． 2．偏导数的几何意义 设 0 0 0 0 0 M (x , y , f (x , y ))为曲面 z = f (x, y) 上一点，过M 0 作平面 0 y = y ，截此曲面得一曲线
217第二节多元函数的偏导数[z= f(x,y)F.y=yo曲线「在平面y=%的方程为z=f(x)，则导数df(x, yo)=f(xo, yo)dx就是曲线「在点M。处的切线MT,对x轴的斜率(图7-10).同样，偏导数,(xo，y)的几何意义是曲面被平面x=x所截得到的曲线在点M。处的切线MT,对y轴的斜率。Hfroy图7-10二、偏导数与连续的关系我们知道，如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续：这是因为各偏导数存在只能保证P沿着平行于坐标轴的方向趋于P时，函数值f(P)趋于f(P），但不能保证点P以任何方式趋于P时，函数值f(P）都趋于f(P)例如，函数2xyx2+y+0x2 + y2f(x,y)=J0x?+y2=0在点(0,0)的偏导数为f(0+△x,0)-f(0,0)J(xo,Jo)= lim lim0=0,Ar-0ArAT-f(0,0+Ay)-f(0,0)lim0=0.f,(xo,yo)=limAy-AyAj-但在本章第二节中已经知道此函数在点（0.0）处并不连续三、高阶偏导数az0z那么在D内≤、都是的函数。如设二元函数≥=(x,J)在区域D内具有偏导数%axayaxay果它们的偏导数也存在，则称它们是函数≥=f(x,y)的二阶偏导数按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：(02)_821.对x的二阶偏导数= f.(x,y),ax(ax)ax?(α)- 02z2.对y的二阶偏导数=f,(x,y),ay(ax)axoy3.二阶混合偏导数(先对x后对y或先对y后对x）
第二节 多元函数的偏导数 217 0 ( , ) : z f x y Г y y Ï = Ì = Ó ， 曲线 Г 在平面 0 y = y 的方程为 0 z = f (x, y ) ，则导数 0 0 0 0 ( , ) ( , ) x x x d f x y f x y dx = = 就是曲线 Г 在点M 0 处的切线M0T x 对 x 轴的斜率(图 710)．同样，偏导数 0 0 ( , ) y f x y 的几何意义是曲面 被平面 0 x = x 所截得到的曲线在点M 0 处的切线M0T y 对 y 轴的斜率． 图 710 二、偏导数与连续的关系 我们知道，如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必连续．但对于多元函数来说，即使各偏 导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续．这是因为各偏导数存在只能保证 P 沿着平行于坐标 轴的方向趋于 P 0 时，函数值 f (P ) 趋于 0 f (P ) ，但不能保证点 P 以任何方式趋于 P 0 时，函数值 f (P ) 都 趋于 0 f (P ) ． 例如，函数 2 2 2 2 2 2 2 0 ( , ) 0 0 xy x y f x y x y x y Ï + ¹ Ô = Ì + Ô Ó + = 在点(0,0) 的偏导数为 0 0 0 0 (0 ,0) (0,0) ( , ) lim lim 0 0 x x x f x f f x y D Æ x D Æ + D - = = = D ， 0 0 0 0 (0,0 ) (0,0) ( , ) lim lim 0 0 y y y f y f f x y D Æ y D Æ + D - = = = D ． 但在本章第二节中已经知道此函数在点(0,0) 处并不连续． 三、高阶偏导数 设二元函数 z = f (x, y) 在区域 D 内具有偏导数 z x ¶ ¶ ， z y ¶ ¶ ，那么在 D 内 z x ¶ ¶ 、 z y ¶ ¶ 都是 x, y 的函数．如 果它们的偏导数也存在，则称它们是函数 z = f (x, y) 的二阶偏导数． 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数： 1. 对 x 的二阶偏导数 2 2 ( , ) xx z z f x y x x x ¶ Ê ¶ ˆ ¶ Á ˜ = = ¶ Ë ¶ ¯ ¶ ， 2. 对 y 的二阶偏导数 2 ( , ) xy z z f x y y x x y ¶ Ê ¶ ˆ ¶ Á ˜ = = ¶ Ë ¶ ¯ ¶ ¶ ， 3. 二阶混合偏导数(先对 x 后对 y 或先对 y 后对 x )