211第一节多元函数的基本概念0Xox图 7-8定义2设二元函数≥=f(x,J)在点P(,%)的某邻域U(P)内有定义，点P(x,J)是U(P)中异于P的任意一点。如果当P(x,J)以任何方式趋向P(x,%)时，对应的函数值(x,y)都无限接近于一个确定的常数A，则称A是函数z=f(x,y)当(x,y)→(x,y)时的极限．记作limf(x,y)=A，或limf(x,y)=A(x,y)(x0.)3%也记作f(x,y)→A(IPP→0), 或 f(x,y)→A(x,y)-→(o,y) .与一元函数类似，我们可以用“6-8”语言给出它的精确定义：设二元函数2=(x,J)在点P(x,%)的某邻域U(P)内有定义，点P(x,y)是U(P)中异于P的任意点，如果>0，>0，当0PP时，都有I(x)-A成立，则称A为函数z=f(x)当(x,y)→(xo,y)时的极限为了区别一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限注1limf(x,y)=A存在，就是指P(x,J)以任何方式趋于P(xo,y)时，函数都无限接近于A.所13以要证明某极限不存在时，只要以两个不同方式(或两条不同路径)趋于P(o,y)时，函数趋于不同的值即可断定函数的极限不存在。注2关于二元函数的极限概念可以相应地推广到n元函数u=f(P)或u=f(x,r,",x）上去.注3多元函数的极限有与一元函数的极限类似的性质xy例5证明lim=0(r)→(0,0) /x2 + y2xy证因为函数f(x,y)=在点O(0,0)的任意去心邻域内都有定义.设点P(x,y)是U(O)中异Vx+ y2于0的任意一点，对Vε>0，要使-(x+ y)xyx? +y2 <60≤Jx + y?x2+ y2只要取8=26时，就有0 PP /(x-0)2 +(y-0) = /x2 + y2 <8于是，对Vs>0，取=2，当0PP8时，总有xyVx+yxy因此lim0(s,)(0,0)/x+1x'y不存在，例6证明lim(0,0) x" + y
第一节 多元函数的基本概念 211 图 78 定义 2 设二元函数 z = f (x, y) 在点 0 0 0 P (x , y ) 的某邻域 0 0 U (P )内有定义，点 P(x, y) 是 0 0 U (P )中异于 P 0 的任意一点．如果当 P(x, y) 以任何方式趋向 0 0 0 P (x , y ) 时，对应的函数值 f (x, y)都无限接近于一个确 定的常数 A ，则称 A 是函数 z = f (x, y) 当 0 0 (x, y) Æ (x , y ) 时的极限．记作 0 0 lim ( , ) x x y y f x y A Æ Æ = ， 或 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) x y x y f x y A Æ = ． 也记作 f (x, y) Æ A 0 (| PP |Æ 0) ，或 f (x, y) Æ A 0 0 ((x, y) Æ (x , y )) ． 与一元函数类似，我们可以用“e -d ”语言给出它的精确定义： 设二元函数 z = f ( x, y) 在点 0 0 0 P (x , y ) 的某邻域 0 0 U (P )内有定义，点 P(x, y) 是 0 0 U (P )中异于 P 0 的任 意点．如果"e > 0 ，$d > 0 ，当 0 0 <| PP |< d 时，都有| f (x, y) - A|< e 成立，则称 A 为函数 z = f (x, y) 当 0 0 (x, y) Æ (x , y ) 时的极限． 为了区别一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限． 注 1 0 0 lim ( , ) x x y y f x y A Æ Æ = 存在，就是指 P(x, y) 以任何方式趋于 0 0 0 P (x , y ) 时，函数都无限接近于 A ．所 以要证明某极限不存在时， 只要以两个不同方式(或两条不同路径)趋于 0 0 0 P (x , y ) 时， 函数趋于不同的值， 即可断定函数的极限不存在． 注 2 关于二元函数的极限概念可以相应地推广到n 元函数u = f (P) 或 1 2 ( , , , ) n u = f x x ××× x 上去． 注 3 多元函数的极限有与一元函数的极限类似的性质． 例 5 证明 ( , ) (0,0) 2 2 lim 0 x y xy x y Æ = + ． 证 因为函数 2 2 ( , ) xy f x y x y = + 在点O (0,0)的任意去心邻域内都有定义．设点 P(x, y) 是U (O ) o 中异 于O 的任意一点，对"e > 0 ，要使 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 2 0 2 x y xy x y x y x y + - £ = + + + < e ． 只要取d = 2e 时，就有 2 2 2 2 0 0 <| PP |= (x - 0) + ( y - 0) = x + y < d ． 于是，对"e > 0 ，取d = 2e ，当 0 0 <| PP |< d 时，总有 2 2 0 xy x y - < e + ． 因此 ( , ) (0,0) 2 2 lim 0 x y xy x y Æ = + ． 例 6 证明 2 4 2 ( , ) (0,0) lim x y x y Æ x + y 不存在．
2127章多元函数微分学证当点P(x.V)沿v轴（x=0）趋于点（0.0)时0°.yx'yx'y0lim= lim=limlim-=0:m0+yy>0 y2(s,)(0,0) x + y2x+y当点P(x,y)沿曲线y=x趋于点(0,0)时r'yx'yx2.x21= lim-(ojio y-lim0x+x2+-0 x* + y2J=r因此，函数f(x,y)在(0,0)处无极限2.二元函数的极限性质与运算法则由于多元函数的极限定义与一元函数的极限定义本质上是一样的，所以一元函数的极限的一些性质和运算法则对于多元函数也是成立的．例如：如果极限存在，其极限值是惟一的；无穷小量与有界函数的乘积仍是无穷小量；若两个函数f,g的极限分别为A,B，则f±g，Jg，J/g的极限等于A±B，AB，A/B(B+O)，等等例7求下列极限：1.x+y?(2) lim(1+ x); (3) lim sin(2) ;(4) lim cos.xy-1(1) lim3 /i+x+y2-1xsinxy330x2+ j2(x?+y°)(1+x* +y? +1)解（1)limlin0y1+x2 +y2-1(y1+x +y2-1)(/1+x +y+1)(+yX+x+y+)=lim(V+x++1)=+0°+0+1=2.limx?+y?503011limymy=[lim(1+xy)"=e3(2) lim(1+xy)*= lim[(1+ xy) =[lim(1+xy)]3033(3) lim sin(x)- limsin().lim y=1.0=0 .fox0y-(4）因为(x,J)→(0,0)：则xy→0，而cosxy-1~-(xy)/2，sinxy~xy，所以I=im (0)/2=im(--)--lim cos.xy-12.0=0sinxxy22求多元函数的极限，仍可利用一元函数求极限的一些方法，例如利用两个重要极限求极限，利用无穷小性质求极限与一元函数类似，二元函数f(x,y)的极限与对应的序列(f(x，y）的极限也有一定的关系，也有判断二元函数极限存在的柯西准则，定理1设二元函数f(x,y)在U(P,)内有定义，则P(x,y)→P(xo,y)时，f(x,y)→a的充分必要条件是：对任意含于U(P,)且收敛于P(x,%)的点列((xy），都有f(x,y）→a(k→+)证明从略。定理2（柯西准则）设二元函数f(x,J)在U(P,)内有定义：则f(x,y)当P(x,J)→P(ro,%)时极限存在的充要条件是：>0，>0，使P(,),P(x2,2)U(Po,)，均有If(x,y)-f(xy2)k.证明从略，关于二元函数极限的定义、结论等都可推广到一般n元函数上去，这里不再列举
212 7 章 多元函数微分学 证 当点 P(x, y) 沿 y 轴( x = 0 )趋于点(0,0) 时， 2 2 2 4 2 4 2 4 2 2 ( , ) (0,0) 0 0 0 0 0 0 lim lim lim lim 0 x y x y 0 y y x y x y y Æ x y = x y Æ y Æ y Æ × = = = = + + + ； 当点 P(x, y) 沿曲线 2 y = x 趋于点(0,0) 时 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 4 ( , ) (0,0) 0 0 1 lim lim lim x y x x 2 y x x y x y x x Æ x y Æ x y Æ x x = × = = = + + + ． 因此，函数 f (x, y)在(0,0) 处无极限． 2．二元函数的极限性质与运算法则 由于多元函数的极限定义与一元函数的极限定义本质上是一样的，所以一元函数的极限的一些性 质和运算法则对于多元函数也是成立的．例如：如果极限存在，其极限值是惟一的；无穷小量与有界 函数的乘积仍是无穷小量；若两个函数 f , g 的极限分别为 A,B ，则 f ± g ， fg ， f g 的极限等于 A ± B ， AB ， A B(B ¹ 0) ，等等． 例 7 求下列极限： (1) 2 2 0 2 2 0 lim 1 1 x y x y x y Æ Æ + + + - ； (2) 1 0 3 lim(1 ) x x y xy Æ Æ + ； (3) 0 0 sin( ) limx y xy Æ x Æ ； (4) 0 0 cos 1 limx sin y xy Æ xy Æ - ． 解 (1) 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 0 0 ( )( 1 1) lim lim 1 1 ( 1 1)( 1 1) x x y y x y x y x y x y x y x y Æ Æ Æ Æ + + + + + = + + - + + - + + + 2 2 2 2 2 2 0 0 ( )( 1 1) lim x y x y x y Æ x y Æ + + + + = + 2 2 0 0 lim( 1 1) x y x y Æ Æ = + + + 2 2 = 1+ 0 + 0 +1 = 2 ． (2) 0 3 3 1 1 1 lim 1 lim 3 0 0 0 0 3 3 3 3 lim(1 ) lim[(1 ) ] [lim(1 ) ] [lim(1 ) ] x y y y y xy y xy xy x x x x x y y y y xy xy xy xy e Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ + = + = + = + = ． (3) 0 0 0 0 sin( ) sin( ) lim lim lim 1 0 0 x xy y y xy xy y Æ x Æ xy Æ Æ = × = × = ． (4) 因为(x, y) Æ (0,0) ．则 xy Æ 0 ，而 2 cos xy -1 ~ -(xy) 2 ，sin xy ~ xy ，所以 2 0 0 0 0 0 0 cos 1 ( ) 2 1 1 lim lim lim 0 0 x sin x x 2 2 y y y xy xy xy Æ xy Æ xy Æ Æ Æ Æ - - Ê ˆ = = - = - × = Á ˜ Ë ¯ ． 求多元函数的极限，仍可利用一元函数求极限的一些方法，例如利用两个重要极限求极限，利用 无穷小性质求极限． 与一元函数类似，二元函数 f (x, y)的极限与对应的序列{ ( , )} k k f x y 的极限也有一定的关系，也有 判断二元函数极限存在的柯西准则． 定理 1 设二元函数 f (x, y)在 0 U (P ,d ) o 内有定义，则 0 0 0 P(x, y) Æ P (x , y ) 时， f (x, y) Æ a 的充分必 要条件是：对任意含于 0 U (P ,d ) o 且收敛于 0 0 0 P (x , y ) 的点列{( , )} k k x y ，都有 ( , ) ( ) k k f x y Æ a k Æ +• ． 证明从略． 定理 2（柯西准则）设二元函数 f (x, y)在 0 U (P ,d ) o 内有定义．则 f (x, y)当 0 0 0 P(x, y) Æ P (x , y ) 时极 限存在的充要条件是："e > 0 , $d > 0 ，使 1 1 1 2 2 2 0 "P(x , y ),P (x , y )ŒU (P ,d ) o ，均有 1 1 2 2 | f (x , y ) - f (x , y )|< e ． 证明从略． 关于二元函数极限的定义、结论等都可推广到一般 n 元函数上去，这里不再列举．
213第一节多元函数的基本概念四、多元函数的连续性1.二元函数的连续性概念定义3设二元函数z=f(x,J)在U(P,)内有定义，且PeU(P,)，如果limf(x,y)=f(xo,y),(x,3)(t.0)则称二元函数==f(x,y)在点P(x,)处连续如果函数f(x,y)在开区域(或闭区域）D内的每一点连续，那么就称函数f(x,y)在D内连续，或者称f(x,y)是D内的连续函数.例9设f(x,y)=sinx，证明f(x,y)是R上的连续函数证设P(x,%)eR，由于sinx在处连续，故对Vs>0，38>0当x-x时，有sinx-sinxk.以上述作P的邻域U(P,)，则当P(x,)eU(P)时，显然|x-xo≤p(P,P)<，即f(xy)=sinx在点P(xo,%）连续由P的任意性知，sinx作为x,y的二元函数在R上连续定义4如果函数f(x,J)在点P(xo,%)不连续，则称P(xo,J%)为函数f(x,y)的间断点注1二元函数连续性概念可相应地推广到n元函数f(P）上去。注2二元函数不连续点可以是孤立点，也可以形成xOy平面上一条曲线例如，函数xyf(x,y)=+其定义域D=R2，O(0,0)是D的聚点：f(x,y)当(x,J)→(0,0)时的极限不存在，所以点O(0,0)是该函数的一个间断点.又如，函数1z = sinx2+y2 -1其定义域为D:x2++1，圆周C:x2+y2=1上的点都是D的聚点，而f(x,y)在C上没有定义，当然f(x,y)在C上各点都不连续，所以圆周C上各点都是该函数的间断点.这里顺便指出：如果函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内某些孤立点或者沿D内某些曲线没有定义，但在D内其余部分都有定义，那末这些孤立点或这些曲线上的点都是函数f(x,y)的不连续点，即间断点.2.二元连续函数的运算前面已指出，一元函数中关于极限的运算法则，对多元函数仍适用，据极限运算法则，易得二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数。可以证明二元连续函数的复合函数也是连续函数由二元多项式及一元基本初等函数经过有限次数的四则运算和复合运算且可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数由初等函数的连续性，我们可以得到下列结论：一切二元初等函数在其定义区域内是连续的．所谓定义区域是指包含在定义域内的区域.利用连续性可以反过来求一些多元函数的极限
第一节 多元函数的基本概念 213 四、多元函数的连续性 1．二元函数的连续性概念 定义 3 设二元函数 z = f (x, y) 在 0 U(P ,d ) 内有定义，且 0 PŒU (P ,d ) ，如果 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) x y x y f x y f x y Æ = ， 则称二元函数 z = f (x, y) 在点 0 0 0 P (x , y ) 处连续． 如果函数 f (x, y)在开区域(或闭区域) D 内的每一点连续，那么就称函数 f (x, y)在 D 内连续， 或者 称 f (x, y)是 D 内的连续函数． 例 9 设 f (x, y) = sin x ，证明 f (x, y)是 2 R 上的连续函数. 证 设 2 0 0 0 P (x , y )Œ R ，由于sin x 在 0 x 处连续，故对"e > 0 ，$d > 0 当 0 | x - x |< d 时，有 0 |sin x - sin x |< e ． 以上述d 作 P 0 的d 邻域 0 U(P ,d ) ，则当 0 P(x, y)ŒU (P ,d ) 时，显然 0 0 | x - x |£ r(P,P ) < d ，即 f (x, y) = sin x 在点 0 0 0 P (x , y ) 连续.由 P 0 的任意性知，sin x 作为 x, y 的二元函数在 2 R 上连续． 定义 4 如果函数 f (x, y)在点 0 0 0 P (x , y ) 不连续，则称 0 0 0 P (x , y ) 为函数 f (x, y)的间断点． 注 1 二元函数连续性概念可相应地推广到n 元函数 f (P ) 上去． 注 2 二元函数不连续点可以是孤立点，也可以形成 xOy 平面上一条曲线． 例如，函数 2 4 2 ( , ) x y f x y x y = + ， 其定义域 2 D = R ，O (0,0)是 D 的聚点． f (x, y)当(x, y) Æ (0,0) 时的极限不存在，所以点O (0,0)是该函 数的一个间断点． 又如，函数 2 2 1 sin 1 z x y = + - ， 其定义域为 2 2 D : x + y ¹ 1，圆周 2 2 C : x + y =1上的点都是 D 的聚点，而 f (x, y) 在C 上没有定义，当然 f (x, y)在C 上各点都不连续，所以圆周C 上各点都是该函数的间断点． 这里顺便指出：如果函数 f (x, y)在开区域(或闭区域) D 内某些孤立点或者沿 D 内某些曲线没有定 义，但在 D 内其余部分都有定义，那末这些孤立点或这些曲线上的点都是函数 f (x, y)的不连续点，即 间断点． 2．二元连续函数的运算 前面已指出，一元函数中关于极限的运算法则，对多元函数仍适用，据极限运算法则，易得二元 连续函数的和、差、积、商 ( 分母不为零 ) 均为连续函数．可以证明二元连续函数的复合函数也是连 续函数． 由二元多项式及一元基本初等函数经过有限次数的四则运算和复合运算且可用一个式子表示的二 元函数称为二元初等函数． 由初等函数的连续性，我们可以得到下列结论：一切二元初等函数在其定义区域内是连续的．所 谓定义区域是指包含在定义域内的区域． 利用连续性可以反过来求一些多元函数的极限．
2147章多元函数微分学例10求lim+y+1解函数+是初等函数，它的定义域为D=(x,)|x0,y0)。因D不是连通的，故D不是区xy +1域．但D,=(x,y)Ix>0,y>0)是区域，且D,D，所以D,是函数f(x,y)的一个定义区域。因为P(1,2)eD，故lim+= (1,2)=3/2 .如果这里不引进区域D，也可以用下述方法判定函数f(x,y)在点P(1,2)处是连续的：因P是J(x,y)的定义域D的内点，故存在P的某一邻域U(P)CD，而任何邻域都是区域．所以U(P)是(x,y)的一个定义区域，又f(x,y)是初等函数，因此f(x,y)在点P处连续一般地，求limf(P)时，如果f(P)是初等函数，且P是f(P)的定义域的内点，则f(P)在点P处连续，于是limf(P)=f(P）3.封闭区域上多元连续函数的性质闭区域上的多元连续函数具有一元连续函数所具有的类似性质：性质1（最大值和最小值定理）有界闭区域D上的多元连续函数至少取得最大值和最小值各一次，即在D上至少有一点P和一点P，使得f(P）为最大值，f(P）为最小值性质2（介值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值.特别地，如果u是函数在D上的最小值和最大值之间的一个数，则在D上至少存在一点P，使f(P)=u.性质3（一致连续性定理）有界闭区域D上的多元连续函数必定一致连续，即若(P）在有界闭区域D上连续，那么>0，S>0，对VP,D，只要PP，都有If(P)-f(P)成立
214 7 章 多元函数微分学 例 10 求 1 2 limx 1 y x y Æ xy Æ + + ． 解 函数 1 x y xy + + 是初等函数，它的定义域为 D ={(x, y)| x ¹ 0, y ¹ 0}．因 D 不是连通的，故 D 不是区 域．但 1 D = {(x, y)| x > 0, y > 0} 是区域，且 D1 à D ，所以 D 1 是函数 f (x, y) 的一个定义区域．因为 0P (1,2)Œ D ，故 1 2 lim (1,2) 3 2 x y x y f Æ xy Æ + = = ． 如果这里不引进区域 D 1 ，也可以用下述方法判定函数 f (x, y) 在点 0P (1,2) 处是连续的:因 P 0 是 f (x, y) 的定义域 D 的内点，故存在 P 0 的某一邻域 0 U(P ) à D ，而任何邻域都是区域．所以 0 U(P ) 是 f (x, y)的一个定义区域，又 f (x, y)是初等函数，因此 f (x, y)在点 P 0 处连续． 一般地，求 0 lim ( ) P P f P Æ 时，如果 f (P ) 是初等函数，且 P 0 是 f (P ) 的定义域的内点，则 f (P ) 在点 P 0 处 连续，于是 0 0 lim ( ) ( ) P P f P f P Æ = ． 3．封闭区域上多元连续函数的性质 闭区域上的多元连续函数具有一元连续函数所具有的类似性质： 性质 1（最大值和最小值定理）有界闭区域 D 上的多元连续函数至少取得最大值和最小值各一次， 即在 D 上至少有一点 P 1 和一点 P 2 ，使得 1 f (P ) 为最大值， 2 f (P ) 为最小值． 性质 2 （介值定理）在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取得两个不同的函数值，则 它在 D 上取得介于这两个值之间的任何值．特别地，如果u 是函数在 D 上的最小值和最大值之间的一 个数，则在 D 上至少存在一点 P ，使 f (P) = u ． 性质 3 （一致连续性定理）有界闭区域 D 上的多元连续函数必定一致连续，即若 f (P ) 在有界闭 区域 D 上连续，那么"e > 0 ，$d > 0 ，对 1 2 "P,P Œ D ，只要 P1P2 | |< d ，都有 1 2 | f (P) - f (P )|< e 成立．
215第二节，多元函数的偏导数第二节多元函数的偏导数在一元函数中，我们由函数的变化率问题引入了一元函数的导数概念：对于二元函数，虽然也有类似的问题，但由于自变量多了一个，问题将变得复杂得多，这是因为，在xOy平面上，点P(xo,y%)可以沿着不同方向变动，因而函数f(x,y)就有沿着各个方向的变化率，在这里，我们仅限于讨论当点P(xo,%)沿着平行x轴和平行y轴这两个特殊方向变动时，函数f(x,y)的变化率问题，即固定y仅x变化时和固定x仅y变化时，函数f(x,y)的变化率问题。这实际上是把二元函数作为一元函数来对待讨论变化率问题。这就是下面要讨论的偏导数问题，一、偏导数的定义1．偏导数定义定义1设函数==f(x,y)在P(xo,J%)的某邻域内有定义，如果当点P沿着平行于x轴的方向移动到点P(x+△r,y%)时(图7-9)，则相应的函数增量A= f(xo +Ax, yo)-f(xo, yo)称为函数f(x,y)在点P(xo,%)关于x的偏增量如果当点P沿着平行于的方向移动到点P(xo,+Ay)时（图7-9)，则相应的函数增量, = f(xo,+Ay)-f(xo, yo)称为函数f(x,y)在点P(xo,%)关于y的偏增量ytP(xaJo+An)Jo+AyP(x,+Ar,Jo)P(xyo)7+AX图7-9类似一元函数导数概念，我们定义偏导数如下定义2设函数==f(x,J)在点(xo,J%)的某一邻域内有定义，如果极限管水有f(xo+Ax,yo)-f(xoyo)Ar存在，则称此极限为函数==f(x,y)在点（x,y)处对x的偏导数，记作Ozf(xo,yo),ax二*=%如果极限Az,f(xo,yo +Ay)-f(xo,yo)=limimoAy4r->0Ay存在，则称此极限为函数z=f(x,J)在点（xo,y)处对y的偏导数，记作azJ,(xo,yo),知ay=0
第二节 多元函数的偏导数 215 第二节 多元函数的偏导数 在一元函数中，我们由函数的变化率问题引入了一元函数的导数概念．对于二元函数，虽然也有 类似的问题，但由于自变量多了一个，问题将变得复杂得多．这是因为，在 xOy 平面上，点 0 0 0 P (x , y ) 可以沿着不同方向变动，因而函数 f (x, y) 就有沿着各个方向的变化率． 在这里，我们仅限于讨论当 点 0 0 0 P (x , y ) 沿着平行 x 轴和平行 y 轴这两个特殊方向变动时，函数 f (x, y)的变化率问题，即固定 y 仅 x 变化时和固定 x 仅 y 变化时，函数 f (x, y) 的变化率问题．这实际上是把二元函数作为一元函数来对 待讨论变化率问题．这就是下面要讨论的偏导数问题． 一、偏导数的定义 1．偏导数定义 定义 1 设函数 z = f (x, y) 在 0 0 0 P (x , y ) 的某邻域内有定义，如果当点 P 0 沿着平行于 x 轴的方向移动 到点 1 0 0 P(x + Dx, y ) 时(图 79)，则相应的函数增量 0 0 0 0 ( , ) ( , ) x Dz = f x + Dx y - f x y 称为函数 f (x, y)在点 0 0 0 P (x , y ) 关于 x 的偏增量．如果当点 P 0 沿着平行于的方向移动到点 2 0 0 P (x , y + Dy) 时(图 79)，则相应的函数增量 0 0 0 0 ( , ) ( , ) y Dz = f x y + Dy - f x y 称为函数 f (x, y)在点 0 0 0 P (x , y ) 关于 y 的偏增量． 图 79 类似一元函数导数概念，我们定义偏导数如下 定义 2 设函数 z = f (x, y) 在点 0 0 (x , y ) 的某一邻域内有定义，如果极限 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim x lim x x z f x x y f x y D Æ x D Æ x D + D - = D D 存在，则称此极限为函数 z = f (x, y) 在点 0 0 (x , y ) 处对 x 的偏导数，记作 0 0 ( , ) x f x y ， 0 0 x x y y z x = = ¶ ¶ ， 0 0 x x x y y z = = ． 如果极限 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim y y y z f x y y f x y D Æ y D Æ y D + D - = D D 存在，则称此极限为函数 z = f (x, y) 在点 0 0 (x , y ) 处对 y 的偏导数，记作 0 0 ( , ) y f x y ， 0 0 x x y y z y = = ¶ ¶ ， 0 0 y x x y y z = = ．