第三章矩阵的运算 注意：伴随矩阵元素的排列顺序 A中行元素的代数余子式按列排 A中列元素的代数余子式按行排 e12-10 例题1、求矩阵4=310的伴随矩阵. 8-10-2g A1=-2,A21=4,A31=1 e-241ù A12=6,A22=-3,A32=-3 -86-3 A3=1,A23=-2,A33=-5 1-2-51
第三章 矩阵的运算 注意：伴随矩阵元素的排列顺序 A中行元素的代数余子式按列排 A中列元素的代数余子式按行排
第三章矩阵的运算 伴随矩阵的性质 4+@:4为L+a4=人i=j ￥0 ,+a,+儿+a元-=月 ￥0i1j 可得： A0L 0ù -44=014上及-4E e eL LL Lú ě0 只利4，就有4)=()A=E
第三章 矩阵的运算 可得： 伴随矩阵的性质
第三章矩阵的运算 2.定理3.2.1（可逆的充分必要条件) n阶方阵A可逆·|A0,而且AI= A A 证明 "U"(充分) 已证. "b"(必要) 若A可逆，则存在A1,使得AA1=E 两边取行列式，得|AA1=A‖A1=E=1 所以 |A10
第三章 矩阵的运算 2.定理3.2.1（可逆的充分必要条件） 证明 两边取行列式，得 所以
第三章矩阵的运算 12-1ù 1判新- 1 0是否可逆？若可逆，求其送矩阵 1 - 0 解： 由于A=910,故A可逆，又 A1=-2,A2=4,A31=4, A12=-2,A2=-3,A32=-3 A13=1,A23=-2,A33=-5, é2 4 于是 é-2 41ù 9 。 1= 2 1 6 -3 3 e 3 3ú 81-2-5 1 2- 69 9
第三章 矩阵的运算 解： 故 A 可逆，又 A11 =-2， A21=4， A31=4， A12 =-2， A22 =-3， A32 =-3 A13=1， A23 =-2 ， A33 =-5 ， 于是
第三章矩阵的运算 推论 若A是n阶矩阵，且存在n阶矩阵B,使 AB=E或BA=E 则A可逆，且B和A互为逆矩阵. 证明：设AB=E 则|AB=A‖BE=1 所以|A10,由定理可知，A可逆 设其逆矩阵为A1,则有 B=EB=(AA)B=A(AB)=AE=A 同理可证，若BA=E,则B=A1
第三章 矩阵的运算 推论 若A是n阶矩阵，且存在n阶矩阵B，使 AB=E 或 BA=E 则A可逆，且B和A互为逆矩阵. 证明： 设AB=E 则 所以 由定理可知，A可逆. 设其逆矩阵为A -1 ,则有 同理可证，若BA=E，则