第三节 随机变量的分布函数 ●分布函数的概念 ●分布函数的性质 ●求分布函数； ●用概率分布计算有关事件的概率
⚫ 分布函数的概念 ⚫ 分布函数的性质 ⚫ 求分布函数; 第三节 随机变量的分布函数 ⚫ 用概率分布计算有关事件的概率
一、引入 对于离散型随机变量利用分布律描述 P{X=x}=P,k=1,2,. PXeg=∑PX=x=∑p 对于非离散型随机变量：P{X=x。}=0(待证) 关心：P{x1<X≤x}=? P{x<X≤x}=P{X≤x,}-P{X≤x} 引入P{X≤x}=F(x)
一、引入 对于离散型随机变量 → 利用分布律描述 对于非离散型随机变量： { } , 1,2,. P X x p k = = = k k { } { } k k k k x L x L P X L P X x p = = = 关心：P x X x 1 2 = ? P x X x 1 2 = P X x 2 − P X x 1 引入 P X x = F x( )0 P X x { } 0 = = （待证）
二、分布函数的概念 定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F(x)=P{X≤x 称为X的分布函数 说明： ()分布函数F(x)是x的普通实函数， 定义域(-∞，o;对应法则：F(x)=P{X≤x} (2)Fx)反映随机变量取值X≤x的概率，故又称累计概率 函数。 (3)用Fx)可以表示随机变量X在任一区间1，x]的概率 完整描述了统计规律性
( ) { } . , , F x x P X x X X = 定义 设 是一个随机变量 是任意实数 函 称为 的分布函数 二、分布函数的概念 说明： (2) F(x)反映随机变量取值X ≤ x的概率，故又称累计概率 函数. (1) ( ) ( ) : ( ) { } F x x − F x P X x = 分布函数 是 的普 定义 对 通实函数， 域 ， ； 应法则 (3) 用F(x)可以表示随机变量X在任一区间(x1 , x2 ] 的概率 ——完整描述了统计规律性
用分布函数计算某些事件的概率 ()将随机变量X看作数轴上随机点的坐标， X 则F(x)=P{X≤x 表示X落在区间(-oo,x内的概率. (2)随机变量X落在区间(x1,2]内的概率 P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x}=F(x2)-F(x) (3)P{X>a}=1-P{X≤a}=1-F(a) (4)P(X<B)=P(X<D)-P(X=b)=F(D)-P(X=b) (5)P{a<X<b}=F(b)-F(a)-P{X=b}
(1) 将随机变量 X 看作数轴上随机点的坐标， x x X o 1 2 P x X x { } 2 1 = − P X x P X x { } { } 2 1 = − F x F x ( ) ( ). 表示X x 落在区间( , ] − 内的概率. F P ( ) { } x = X x 1 2 （2 ( , ] ）随机变量 X x x 落在区间 内的概率 用分布函数计算某些事件的概率 则 （3 { } ）P X a = − = − 1 { } 1 ( ) P X a F a x X o 1 x 2 x （5 { } ）P a X b = − − = F b F a P X b ( ) ( ) { } （4 { } ）P X b = − = = − = P X b P X b F b P X b { } { } ( ) { }
三、分布函数的性质 (1)F(x)是一个单调不减函数， 证明：设x1<x2,有F(x)-F(x2) =P{X≤x2}-P{X≤x} =P{x1<X≤x2}≥0，→Fx)≤F(x2)
证明：设 1 2 x x ，有 1 2 F x F x ( ) ( ) − 2 1 = − P X x P X x { } { } 1 2 = P x X x { } 0, 1 2 F x F x ( ) ( ) （1 ( ) ）F x 是一个单调不减函数. 三、分布函数的性质