P 同 理 P y dz e Q O = 和并以上三式得: P Pe ndz Q d x R 中y O 斯 公 式
( , , ) , = dv P x y z dydz x P 同理 ( , , ) , = dv Q x y z dzdx y Q = + + + + dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) ------------------高斯公式 和并以上三式得：
2的两类曲面积分之间的关系知 aP 80 aR +di ay az H(P cos a+2 cos B+Rcos r)ds ∑ Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 的面上的曲面积分之间的关系 上页
Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系. ( cos cos cos ) . ( ) = + + + + P Q R dS dv z R y Q x P 由两类曲面积分之间的关系知
庄二、简单的应用 例1计算曲面积分 ∫(x-y)ap+(y-x)xd ∑ 其中∑为柱面x2+y=1及平 面x=0,乙=3所围成的空间闭 工工工 区域g的整个边界曲面的外侧 上解P=(y-)x,Q=0,x R=x-y 上页
二、简单的应用 例1 计算曲面积分 (x − y)dxdy + ( y − z)xdydz 其中Σ为柱面 1 2 2 x + y = 及平 面z = 0,z = 3所围成的空间闭 区域的整个边界曲面的外侧. x o z y 1 1 3 解 , ( ) , 0, R x y P y z x Q = − = − =
aP 90.aR 00 =y- =0 a 王原式=(-addh (利用柱面坐标得) Pr (rsin 6-zrdrdedz y Q x 9丌 2 上页
, 0, = 0, = = − z R y Q y z x P 原式 = ( y − z)dxdydz = (rsin − z)rdrddz . 2 9 = − (利用柱面坐标得) x o z y 1 1 3