电子科技大学：《数理方程与特殊函数》第五章 积分变换（5.2）傅立叶变换的应用

例4求解无界弦振动方程的初值问题 u-a u 0,(-∞<x<∞,t>0 l(x,0)=(x) u, (x, 0)=y(x) 解(1)对定解问题作对应于空间变量的傅立叶 变换 d u(n, t) tt > 2,l1(>(1)2i(元, 变换后得关于t的常微分方程定解问题 du(a,t +a22(x,t)=0 (,0)=0(),、(1,0)=V()

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 11 例4 求解无界弦振动方程的初值问题 ( )      = = − = −      ( ,0) ( ) ( ,0) ( ) 0, , 0 2 u x x u x x u a u x t t t t xx   解 (1) 对定解问题作对应于空间变量的傅立叶 变换 2 2 2 ( , ) , ( ) ( , ) tt xx d u t u u i u t dt      变换后得关于t的常微分方程定解问题： 2 2 2 2 ( , ) ( , ) 0 * ( ,0) ( ), ( ,0) ( ) t d u t a u t dt u u            + =    = =

2)求像函数 中方程的通解为: u(n,t)=Celat+c2e Mat 特解为: i(2.1)=0()+-v()em+0()-0() a 3)求原像函数 l(x,1)=F[(

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 12 i at i at u t C e C e    − = 1 + 2 ( , ) ~ i a t i a t e i a e i a u t              −       + −       = + ( ) 1 ~ ( ) ~ 2 1 ( ) 1 ( ) ~ 2 1 ( , ) ~ *中方程的通解为： *特解为： (2) 求像函数 (3) 求原像函数 ( , )] ~ ( , ) [ 1 u x t F u  t − =

l(x,1)=F-[(.,1) Flo(n) F v(4)e 2a +F lo(eia 1 F V(4)e-1 2 由延迟定理: F(o(x±al)=eF(x)=e() 所以: F[e@()=(x+a

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.50 0.51 n 13 ( , )] ~ ( , ) [ 1 u x t F u  t − =      + −   = + − − − − − − i a t i a t i a t i a t e i F a F e e i F a F e               ( ) 1 ~ 21 ( ) ~ 21 ( ) 1 ~ 21 ( ) ~ 21 1 1 1 1 由延迟定理 ： ( ) ( ) ~ [ ] [( )]   ia t ia t F x at e F x e    = = ( )] ( ) ~ [ 1 F e x at i at =  −      所以：