电子科技大学：《数理方程与特殊函数》第五章 积分变换（5.2）傅立叶变换的应用

(二)、积分方程求解 例2求解积分方程: y(x)=f(x)+y(5)(x-5d5 解(1)对积分方程两端作傅立叶变换 由卷积性质: 所以方程变换为: ()=f()+y(4)g()

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 例2 求解积分方程： y x f x y g x d ( ) ( ) ( ) ( )    + − = + −  解 (1) 对积分方程两端作傅立叶变换 (二)、积分方程求解 由卷积性质： F y g x d y g ( ) ( ) ( ) ( )      + −   − =      所以方程变换为： y f y g ( ) ( ) ( ) ( )     = +

(2)求像函数 f() (兄)= (兄) (3)求原像函数 1 1(x) f() s() 注:正弦与余弦变换 正弦变换: 7()=J。f(x)sinx

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 (2) 求像函数 ( ) ( ) 1 ( ) f y g    = − (3) 求原像函数 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) f i x y x e d g      + − = −  注：正弦与余弦变换 正弦变换： 0 f f x xdx s ( ) ( )sin   + = 

正弦变换的逆变换: 2 f(x) ∫。天() sin axd元 0 余弦变换: f(元) f()cos axdx 余弦变换的逆变换: f(x)=2J0元() costed.元

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 正弦变换的逆变换： 0 2 ( ) ( )sin s f x f xd     + =  余弦变换： 0 f f x xdx c ( ) ( )cos   + =  余弦变换的逆变换： 0 2 ( ) ( )cos c f x f xd     + = 

例3求解积分方程: l。y(x) )sin axa=F() 其中: RcOs元O≤元≤丌 F(2) =丌 4 O.>丌 解:方程左边为y(x)的傅立叶正弦变换,因此, y(x)等于F(λ)的正弦逆变换

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 例3 求解积分方程： 0 y x xdx F ( )sin ( )   + =  其中： cos ,0 2 ( ) , 4 0, F                 = − =       解：方程左边为y(x)的傅立叶正弦变换，因此， y(x)等于F(λ)的正弦逆变换

所以,方程的解为 2cx丌 y(x)= cos a sin nxdn 2[++s(x10 (+COS Ttx) (三)、求解偏微分方程定解问题 1、全无界域上的定解问题

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 所以，方程的解为： 0 2 ( ) cos sin 2 y x xd       =  0 1 sin(1 ) sin( 1) 2 x d x d        = + + −      2 (1 cos ) 1 x x x = +  − (三)、求解偏微分方程定解问题 1、全无界域上的定解问题