电子科技大学：《数理方程与特殊函数》第七章（7.4）勒让德多项式

数理方程与特殊函教 假髁教师:杨春 Email:yc517922@126.com 液用数学学院

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 Email: yc517922@126.com 数理方程与特殊函数 任课教师：杨春 应用数学学院

本次课主要内容 勒让德多项式 (一)、勒让德方程 (二)、勒让德方程的幂级数解 )、勒让德多项式 (四)、勒让德多项式的罗得利克公式(重点) (五)、勒让德多项式的积分表达式

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 本次课主要内容 勒让德多项式 (一)、勒让德方程 (二)、勒让德方程的幂级数解 (三)、勒让德多项式 (四)、勒让德多项式的罗得利克公式(重点) (五)、勒让德多项式的积分表达式

(一)、勒让德方程 考虑球域内拉氏方程定解问题: x+2+u==0(x2+y2+=2<1 2+y+=f(xy,=) 在球坐标系下,定解问题为: 0(,u Sine cu 0 ar) rsin 0 80 90r2sin20 ag A=:=f(0,9)(0≤r<1.0≤0≤x,0≤q≤2z) 采用分离变量求解

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 ( ) 2 2 2 2 2 2 1 0, 1 ( , , ) xx yy zz x y z u u u x y z u f x y z + + =  + + = + +     =  考虑球域内拉氏方程定解问题： 在球坐标系下，定解问题为： (一)、勒让德方程 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 sin 0 sin sin ( , ),(0 1,0 ,0 2 ) r u u u r r r r r r u f r       =                      + + =            =        采用分离变量求解

分离变量 令:(,,m)=R(r)Y(O,) 得: 1 d(, dR y)102y sin e R2hrah) y sin 0 a、a丿sin20a02 在上面等式中令等式的值为n(n+1)得: R dR c2+2 n(H+1)R=0…(1) aY 1 aY sin e sin 0 a0 80) sin 8 a +n(n+1)Y=0…(2)

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 u r R r Y ( , , ) ( ) ( , )     = 2 2 2 2 2 1 1 1 1 sin sin sin d dR Y Y r R dr dr Y                = − +                分离变量 令： 得： 在上面等式中令等式的值为n(n+1) 得： 2 2 2 2 ( 1) 0 (1) d R dR r r n n R dr dr + − + = 2 2 2 1 1 sin ( 1) 0 (2) sin sin Y Y  n n Y           + + + =       

再令:Y(,9)=(Oy( 得: de 1d2① sinΦ+ sin e de de sin 0 doo+n(n+1)o=0 于是得: le d sine? de sIn +n(n+isin 2=1a ( de d Φd02 注意到: d(q+2z)=d(

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.50 0.51 n 5 再令： Y( , ) ( ) ( )     =   得： 于是得： 注意到：  + =  ( 2 ) ( )    2 2 2 1 1 sin ( 1) 0 sin sin d d d n n d d d            +  + +  =     2 2 2 1 1 sin sin ( 1)sin d d d n n d d d           + + = −      