CHAPTER 普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1 上面“思考”中的命题(1)是假命题,命题(2)是真命题,所以命题(3)是真 命题 例3判断下列命题的真假: (1)2≤2 (2)集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集; (3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等 解:(1)命题“2≤2”是由命题: p:2=2;q:2<2 用“或”联结后构成的新命题,即p∨q 因为命题p是真命题,所以命题p∨q是真命题 (2)命题“集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集”是由命题: p:集合A是A∩B的子集; g:集合A是A∪B的子集 用“或”联结后构成的新命题,即p∨q 因为命题q是真命题,所以命题p∨q是真命题 (3)命题“周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等”是由命题 p:周长相等的两个三角形全等; q:面积相等的两个三角形全等 用“或”联结后构成的新命题,即pVq 因为命题p,q都是假命题,所以命题p∨q是假命题 思 如果pAq为真命题,那么pVq一定是真命题吗?反之,如果pVq为 真命题,那么pAq一定是真命题吗? 133非(not) 思 考 下列两个命题间有什么关系? (1)35能被5整除; (2)35不能被5整除 16
b (not)
第一章常用逻辑用语 第一章 可以看到,命题(2)是命题(1)的否定 般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作 ①注意此处 命题的否定与 1.1.2中否命题的 读作“非p”或“p的否定” 区别 上面“思考”中,命题(1)是真命题,命题(2)是假命题 既然命题一p是p的否定,那么一p与p不能同为真命题,也不能同 为假命题.也就是说, 若p是真命题,则p必是假命题;若p是假命题,则一p必是真命题 例4 写出下列命题的否定,并判断它们的真假: (1)p:y=sinx是周期函数; (2)p:3<2; (3)p:空集是集合A的子集 解:(1)-p:y=sinx不是周期函数 命题p是真命题,一p是假命题 (2)-p:3≥2 命题p是假命题,-p是真命题 (3)-p:空集不是集合A的子集 命题p是真命题,一p是假命题 练习 1.判断下列命题的真假: (1)12是48且是36的约数 (2)矩形的对角线互相垂直且平分, 2.判断下列命题的真假 (1)47是7的倍数或49是7的倍数;(2)等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直 3.写出下列命题的否定,然后判断它们的真假: (1)2+2=5; (2)3是方程x2-9=0的根; (3)√( 1 ■17
CHAPTER 通高中课程标准实验教科书数学选修1-1 习题1.3 A组 1.写出下列命题,并判断它们的真假 (1)pVq,这里p:4∈12,3},q:2∈{2,3}; (2)p∧q,这里p:4∈{2,3},q:2∈{2,3} (3)pVq,这里p:2是偶数,q:3不是质数; (4)pAq,这里p:2是偶数,q:3不是质数 2.判断下列命题的真假 (1)5>2且7>3 (2)3>4或3<4; (3)7≥8. 3.写出下列命题的否定,并判断它们的真假: (1)√2是有理数 (2)5不是15的约数; (3)2<3; (4)8+7≠15; (5)空集是任何集合的真子集 B组 判断下列命题的真假,并说明理由: (1)pVq,这里p:丌是无理数,q:x是实数; (2)pAq,这里p:x是无理数,q:π是实数; (3)pVq,这里p:2>3,q:8+7≠15; (4)p∧q,这里p:2>3,q:8+7≠15 阅读 “且”“或”“非”与“交”“并”“补” 逻辑联结词“且”“或”“非”与集合的“交”“并”“补”之间有关系吗? 先看一个具体例子 我们知道,由“2是偶数”与“2是素数”都是真命题,可以得到“2是偶数且是素 数”是真命题.另一方面,由集合的“交”运算可以知道:由2∈{偶数},2∈{素数},可 以得到2∈{偶数}∩{素数}.如果把“真”对应于“∈”,“且”对应于“交”,那么,“2 是偶数是真命题”可以对应于“2∈{偶数}”,“2是素数是真命题”可以对应于“2∈{素 数}”,“2是偶数且是素数是真命题”就可以对应于“2∈{偶数}∩{素数}
第一章常用逻辑用语 第一章 从上述例子得到启发,我们可以在逻辑联结词“且”与集合的“交”运算之间建立 联系 我们知道,对于逻辑联结词“且”有如下规定: 若p,q都是真命题,则pAq是真命题;若p,q中有假命题,则pAq是假命题 对于集合的“交”有如下规定: 若a∈P,a∈Q,则a∈P∩Q;若a∈P或a任Q,则a∈P∩Q 把命题P,q分别对应于集合P,Q,“真”“假”“A”分别对应于“∈”“∈”“∩” 那么上述关于“且”与“交”的规定就具有形式的一致性,具体地说,就是“是真命 题”对应于“a∈P”,“q是真命题”对应于“a∈Q”,“p∧q是真命题”对应于“a∈P∩ Q”,“pAq是假命题”对应于“a∈P∩Q 探 究 你能发现逻辑联结词“或”和集合的“并”运算的规定在形式 上的一致性吗? 逻辑联结词“非”和集合的“补”又有什么关系呢? 再看一个具体例子 若以整数集为全集,则偶数集和奇数集互为补集.由“2是偶数”是真命题,可以得 到“2是奇数”是假命题;由“3是偶数”是假命题,可以得到“3是奇数”是真命题.用 集合的方式则可表达为:由2∈{偶数},可以得到2∈{奇数};由3∈{偶数},可以得到 3∈{奇数}.如果把“非”“真”“假”分别对应于“补”“∈”“∈”,那么,命题p和它的 否定一P可以对应于集合P和它的补集CP,“p是真命题”对应于“a∈P”,“-p是假 命题”对应于“a∈DP”,“p是假命题”对应于“a∈P”,“→p是真命题”对应于 “a∈CP”. 一般地,对于逻辑联结词“非”有如下规定: 若p是真命题,则一巾是假命题;若p是假命题,则一p是真命题 对于集合的“补”有如下规定 设U为全集,P≌U,若a∈P,则a∈CP;若a∈P,则a∈CP 究 类比“且”与“交”的联系,并结合上述例子,你能建立逻辑 联结词“非”与集合的“补”运算之间的对应关系吗? ■■19
&1-T4$3q&&, &~~ITvA&%E~+R%~~ "X" &r%+fi$ "5" ig$$&piJ&3 %%. &.ln%s, Hlf-z#~% "a" *+T&z: %P, q;i;P&J%+%, WI] ~/\q&&+%; %P, q +~5-4~+&, WI] pAqER+B. *lf-%*~ 4'?z'' *+-F%Z: %a€P, aEQ, WI] aEPnQ; %aeP&a@Q, WI1 a#PnQ. d~+~p, q +~SIJ%I-B?$$+P, Q, "g" "41%'~ "A" *~~jjtf,&~ 66~fl b4 e ?' d6 n ?' , wpa1sw L6~99 3 "5" ~&z~itgge~~-g~t4. ti^%+%, %a 3%' Hfi 3- "a E P", "q ;f- "a E Q", "p A j$_g+~@" x;ffi T E p n Q, "pAq&R+%" *fiT "aePnQ
CHAPTER 通高中课程标准实验教科书数选修』-1 从上述讨论可以发现:命题与集合之间可以建立对应关系.在这样的对应下,逻辑联 结词与集合的运算具有一致性,命题的“且”“或”“非”恰好分别对应集合的“交”“并” “补”,因此,我们就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定 国国国m回m面mmmm
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