郭一章常用逻辑用语 第一章 122充要条件 考 已知p:整数a是6的倍数,q:整数a是2和3的倍数 那么p是q的什么条件?q又是p的什么条件? 在上述问题中,p→q,所以p是q的充分条件,q是p的必要条件 另一方面,q→p,所以p也是q的必要条件,q也是p的充分条件 一般地,如果既有p→q,又有q→p,就记作 此时,我们说,p是q的充分必要条件0,简称充要条件( sufficient and necessary condition).显然,如果p是q的充要条件,那么q也 0“p是q的 是p的充要条件 充要条件”也说 成“p等价于q 概括地说,如果pq,那么p与q互为充要条件 q当且仅当 p”等 例3下列各题中,哪些p是q的充要条件 (1)p:b=0,q:函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数; (2)p:x>0,y>0,q:xy>0 (3) p: a>b, g: a+c>b+c. 解:在(1)(3)中,的,所以(1)(3)中的p是q的充要条件.在(2)中,qp, 所以(2)中的p不是q的充要条件 例4已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离 为d.求证:d=r是直线l与⊙O相切的充要条件 分析:设p:d=r,q:直线l与⊙O相切.要证p是q 的充要条件,只需分别证明充分性(p→q)和必要性 (q→>p)即可 证明:如图1.2-1所示,作OP⊥l于点P,则OP=d 图 (1)充分性(p→q):若d=r,则点P在⊙O上.在直线l上任取一点Q(异于点P), 连接OQ.在Rt△OPQ中,OQ>OP=r.所以,除点P外,直线l上的点都在⊙O的外部, 即直线l与⊙O仅有一个公共点P.因此,直线l与⊙O相切 (2)必要性(q→p):若直线l与⊙O相切,不妨设切点为P,则OP⊥l.因此 d=OP=r ■昌11
.. , .,. . - 8 . : %,.i", . - ( - .. . . -, pi@, q#ssms. , ..,:.':,., .$ .: . .,!,%:; . . . .~, - . . . . I,,.. . . 1: .-- ... . . @k;zer'E;J%+ 9 p-q, EN p Pq rn%.ft.%f+, !? 5% P ma\%%#. B-27-rn9 PP, fiUpd3Bq rn&\B%4+9 q&Ep iXJ%%%#.. -%%, BUR%& p*q, X% PP, %it!* P w. &W, %.fl3%, P 5% q IKI%ff.&Z&W Ri%%E&@ (sufficient and necessary condition). a%, BAR P $& q t%%3?&f+, @/t, q -& O"P~Q* BP rn%S*#* A***" tit & "P ?BFCT q" @%&%, &SE! PW, %/t, P % 4 §%%g%.14. "q &R&L
CHAPTER 普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1 幕习 1.下列形如“若p,则q”的命题是真命题吗?它的逆命题是真命题吗?p是q的什么条件? (1)若平面a外一条直线a与平面a内一条直线平行,则直线a与平面a平行 2)若数列{an}的通项公式是an=n+c(c是常数),则数列{an}是公差等于1的等差数列 3)若直线a与平面a内两条直线垂直,则直线a与平面a垂直 2.在下列各题中,p是q的什么条件? (1)p:x2=3x+4,q:x=√3x+4; (2)p:x-3=0,q:(x-3)(x-4)=0 (3)p:b2-4aC≥0(a≠0),q:ax2+bx+c=0(a≠0)有实根; (4)p:x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根,q:a+b+c=0. 习题1.2 A组 1.举例说明 (1)p是q的充分条件; A2单是的必要条件r (3)p是q的充要条件 2.判断下列命题的真假: (1)“a>b是“a2>b2”的充分条件 (2)“a|>|b”是“a2>b2的必要条件 (3)“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件 3.下列各题中,p是q的什么条件 (1)p:x=1,q:x-1=x-1; 1;4 (2p:x-2≤3;g:-1≤x≤5 (3)p:x=2,g:x-3=√3-x; (4)p:三角形是等边三角形,q:三角形是等腰三角形 4.求圆(x-a)2+(y-b)2=r2经过原点的充要条件
# 3 -- + ------ - .- - 1. TjillB3u P, J4 n" &&%Bw&E@? BHZ&BtB&@rmi? 9#k&4+? - - - - - - - - -- - - - - - - - - - -- - - A - - - - - - - --- (1, $$FBI .+b-%S%a %YE@ A-+B%f 6, ~!IE% a GFiiifa Yfig A ---A - . . -- - .- -- - -- - . - . - - - - -- - (2) 2$g$Gj (a. ) i#%%/~?d~ a.=n+c (c BXTW r R!lBW {a. ) %&E?5T 1 BtlZPgiW i _ - -- _ - - - - - - - _ - _ - -- _ - _ - __ .- - (3%~@4 a %FE~ &T@Af &Sf. MJb% a $YE@ S-b. - :\ . 2. &TW&B*. p t q l%Pff-&%F? ------- .-. - -- --- - - --- - +. - (1) 8: ~?4~+4, -- - q: - -. J= Jm; -- - - .. - - --. -. . - . -- -, , 11 " , . C - .- < f.' ' I -,* I.,,, --' i . 4 .-i -t-m-Urrm.a - 01 ,& 1 L0 .I 1. '- ClI PSs sS%BM,. , 11 .. . ' ..:. (2rl-163 su$ ,Hfl*@? . , \!*F\j e 7 \- .,, . 1' . I -1, (3) P EP BOE%;~#. - I s . - 1. 1 ,a,, -3 1 I ,! TI 2. ~@T~l.BErHW&@2 ID a~94?. $3 aae3bz" &$@%@; -. : (2161al>l&l"&ad>~i'g&&*#; , ,, :!ii 5 .r 11, .1 ' I I J - ; $,'f \,\A -\ 6 ' . ;,*, '-. 1. - ti' " ,* :I :,],jy*\-~$$* c$Cs'$':T-aT<3, q: -1G,45$ 7- .,- i / >I .I-' 4 I :it 7 ., 8 I! ' '!;-I c* ' ... - - .1
第一章常用逻辑用语 第一章 1.已知A={x|x满足条件p},B={xx满足条件q}. (1)如果AB,那么p是q的什么条件; (2)如果BA,那么p是q的什么条件; (3)如果A=B,那么p是q的什么条件 2.求证:△ABC是等边三角形的充要条件是 a2+62+c2=ab+ac+bc, 这里a,b,c是△ABC的三条边 ■■13
PAg 13 简单的逻辑朕结词 在数学中,有时会使用一些联结词,如“且”“或”“非”.在生活用语中,我们 1也使用这些联结词,但表达的含义和用法与在数学中的含义和用法不尽相同.下面介 绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法 1为叙述简便,今后常用小写字母p,q,r,s,…表示命题 13.1且(and) 考 下列三个命题间有什么关系? (1)12能被3整除; (2)12能被4整除; (3)12能被3整除且能被4整除 可以看到,命题(3)是由命题(1)(2)使用联 1结词“且”联结得到的新命题 般地,用联结词“且”把命题p和命题q联结 起来,就得到一个新命题,记作 力∧q, 读作“p且q” 们可以从串联电路理解 命题pAq的真假如何确定呢? 联结词“且”的含义.若开关 般地,我们规定: p,q的闭合与断开分别对应 命题p,q的真与假,则整个 当p,q都是真命题时,pAq是真命题;当p,q电路的接通与断开分别对应命 两个命题中有一个命题是假命题时,pAq是假命题 题pAq的真与假 上面“思考”中的命题(1)(2)都是真命题,所 以命题(3)是真命题 例1将下列命题用“且”联结成新命题,并判断它们的真假: 14■■
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第一章常用逻辑用语 第一章 (1)p:平行四边形的对角线互相平分,q:平行四边形的对角线相等; (2)p:菱形的对角线互相垂直,q:菱形的对角线互相平分; (3)p:35是15的倍数,q:35是7的倍数 解:(1)pAq:平行四边形的对角线互相平分且相等 由于p是真命题,q是假命题,所以p∧q是假命题 (2)pAq:菱形的对角线互相垂直且平分 由于p是真命题,q是真命题,所以p∧q是真命题 (3)p∧q:35是15的倍数且是7的倍数 由于p是假命题,q是真命题,所以p∧q是假命题. 例2用逻辑联结词“且”改写下列命题,并判断它们的真假: (1)1既是奇数,又是素数; (2)2和3都是素数 解:(1)命题“1既是奇数,也是素数”可以改写为“1是奇数且1是素数” 因为“1是素数”是假命题,所以这个命题是假命题 (2)命题“2和3都是素数”可以改写为“2是素数且3是素数 因为“2是素数”与“3是素数”都是真命题,所以这个命题是真命题 132或(or) ? 下列三个命题间有什么关系? (1)27是7的倍数; (2)27是9的倍数; (3)27是7的倍数或是9的倍数 命题(3)是由命题(1)(2)用联结词“或”联结 得到的新命题 般地,用联结词“或”把命题p和命题q联结起 q 来,就得到一个新命题,记作 读作“p或q 命题p∨q的真假如何确定呢? 我们可以从并联电路理解联 一般地,我们规定 结词“或”的含义。若开关p, 当p,q两个命题中有一个命题是真命题时,pVq是则整个电路的接通与断开分别对 真命题;当p,q两个命题都是假命题时,pVq是假命题,应命题DVq的真与假 圆15