x∈M,D(x) 3x∈M,p(x) 1,4 全称量词与存在量河 141全称量词 考 下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (2)2x+1是整数; (3)对所有的x∈R,x>3; (4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数 我们知道,命题是可以判断真假的陈述句.语句(1)(2)含有变量x,由于不知 道变量x代表什么数,无法判断它们的真假,因而不是命题.语句(3)在(1)的基 础上,用短语“对所有的”对变量x进行限定;语句(4)在(2)的基础上,用短语 对任意一个”对变量x进行限定,从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句,因此 语句(3)(4)是命题 短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量 1词。( universal quantifier),并用符号“”表示,含有全称量 0常见的全 词的命题,叫做全称命题 称量词还有“对 一切”“对每一个 例如,命题: 所有 对任意的n∈Z,2n+1是奇数; 的”等 所有的正方形都是矩形 都是全称命题 通常,将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x的取值 范围用M表示,那么,全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号 简记为 Vx∈M,p(x), 21
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CHAPTER 普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1 读作“对任意x属于M,有p(x)成立” 例1 判断下列全称命题的真假: (1)所有的素数是奇数; (2)x∈R,x2+1≥1 (3)对每一个无理数x,x2也是无理数 分析:要判定全称命题“Ⅴx∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x, 证明p(x)成立;如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全称命 题就是假命题 解:(1)2是素数,但2不是奇数.所以,全称命题“所有的素数是奇数”是假命题 (2)Vx∈R,总有x2≥0,因而x2+1≥1.所以,全称命题“Ⅴx∈R,x2+1≥1”是 真命题 (3)√2是无理数,但(2)2=2是有理数.所以,全称命题“对每一个无理数x,x2也 是无理数”是假命题 1.42存在量词 下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)2x+1=3; (2)x能被2和3整除; (3)存在一个x0∈R,使2x0+1=3; (4)至少有一个x0∈Z,x0能被2和3整除 容易判断,(1)(2)不是命题.语句(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变 量x的取值进行限定;语句(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进 行限定,从而使(3)(4)变成了可以判断真假的语句,因此语句(3)(4)是命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词0 ( existential quantifier),并用符号“彐”表示,含有存在量词的命 常见的存 题,叫做特称命题 在量词还有“有 例如,命题 些”“有一个”“对 某个”“有的”等 有的平行四边形是菱形; 22
@E9J%, (1>(2) 71;B&%. SQ (3) & (1) HJBt&t, JqBi.3 "@~--+" x$g ~xmrgrwfi~e; BQ (4) (2) wsw, m '6~~~-+97 xrf'mgXm~~s ERZ, MfiE (3)(4) 9BTqUPJ%&BmBQ, B&SQ (3)(4) E&@. jgs "G7&-+97 '39Jqq-+97 &BB+B*a'-I@G.;Bsmo (existential quantifier), #,J#@% " 3 " sz. *g@&Baf$~-&j I o Cafi4 a, wi!ik*8@rn. &*-N&$i ,J9 "$i-,+" "$i* @J?Iu, &a: x+" "$#I" p
第一章常用逻辑用语 第一章 有一个素数不是奇数 都是特称命题 特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”可用符号简记为 彐x0∈M,p(x) 读作“存在一个x0属于M,使p(x0)成立” 例2判断下列特称命题的真假: (1)有一个实数x,使x3+2x+3=0; (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3)有些整数只有两个正因数 分析:要判定特称命题“彐x∈M,p(xo)”是真命题,只需在集合M中找到一个元 素x0,使p(x0)成立即可.如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个特 称命题是假命题. 解:(1)由于x∈R,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,因此使x2+2x+3=0的实数x 不存在,所以,特称命题“有一个实数x,使x3+2x0+3=0”是假命题 (2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的,因此不存在两个相交的平面垂 直于同一条直线.所以,特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题 (3)由于存在整数3只有两个正因数1和3,所以特称命题“有些整数只有两个正因 数”是真命题 练习 1.判断下列全称命题的真假: (1)每个指数函数都是单调函数; (2)任何实数都有算术平方根; (3)Vx∈{x|x是无理数},x2是无理数 2.判断下列特称命题的真假 (1)彐x0∈R,x0≤0; (2)至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数; (3)彐x∈{x|x是无理数},x3是无理数 ■23
CHAPTER 普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1 14.3含有一个量词的命题的否定 究 mm量 写出下列命题的否定 (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)每一个素数都是奇数; (3)Vx∈R,x2-2x+1≥0. 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化? 上面三个命题都是全称命题,即具有形式“Vx∈M p(x)”.其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四 ①这里,要注意 边形”◎,也就是说, “并非所有的矩形都是平 行四边形”与“所有的 存在一个矩形不是平行四边形; 矩形都不是平行四边形” 命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数"”,也就是说,的区别,前者是指“存 存在一个素数不是奇数; 在一个矩形不是平行四 边形”,并不排除有其他 命题(3)的否定是“并非所有的x∈R,x-2x+1≥0”,也就的矩形是平行四边形 是说 彐x0∈R,x3-2x0+1<0 从命题形式看,这三个全称命题的否定都变成了特称命题 般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论: 全称命题p: 它的否定→p 彐x0∈M,-p(xo) 全称命题的否定是特称命题 例3写出下列全称命题的否定: (1)p:所有能被3整除的整数都是奇数 (2)p:每一个四边形的四个顶点共圆 (3)p:对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3 解:(1)-p:存在一个能被3整除的整数不是奇数 (2)一p:存在一个四边形的四个顶点不共圆 (3)一p:彐x∈Z,x的个位数字等于3 24l■
章常用逻辑用语 第一章 探 究 用是用用是 写出下列命题的否定 (1)有些实数的绝对值是正数; (2)某些平行四边形是菱形; (3)彐x0∈R,x3+1<0 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化? 这三个命题都是特称命题,即具有形式“彐x∈M,p(x0)”.其中命题(1)的否定是 “不存在一个实数,它的绝对值是正数”,也就是说, 所有实数的绝对值都不是正数; 命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,也就是说, 每一个平行四边形都不是菱形; 命题(3)的否定是“不存在x0∈R,x3+1<0”,也就是说, x∈R,x2+1≥0 从命题形式看,这三个特称命题的否定都变成了全称命题 般地,对于含一个量词的特称命题的否定,有下面的结论: 特称命题p 彐x0∈M,p(xo) 它的否定一p: Vx∈M,-p(x). 特称命题的否定是全称命题 例4 写出下列特称命题的否定: (1)p:彐x0∈R,x6+2x0+2≤0; (2)p:有的三角形是等边三角形; (3)p:有一个素数含三个正因数 解:(1)-p:Vx∈R,x2+2x+2>0 (2)一p:所有三角形都不是等边三角形 (3)-p:每一个素数都不含三个正因数