CHAPTER 普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1 “若-q,则→p” 例如,如果原命题是“同位角相等,两直线平行”,那么它的逆否命题是“两直线不 平行,同位角不相等 1.举出一些互为逆否命题的例子,并判断原命题与逆否命题的真假 2.如果原命题是真命题,那么它的逆否命题一定是真命题吗? 下面我们将上述四种情况概括一下 设命题(1)“若p,则q”是原命题,那么 命题(2)“若q,则p”是原命题的逆命题; 命题(3)“若一p,则→q”是原命题的否命题; 命题(4)“若-q,则-p”是原命题的逆否命题 练习 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假: (1)若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除; (2)若一个三角形的两条边相等,则这个三角形的两个角相等; (3)奇函数的图象关于原点对称 1.13四种命题间的相互关系 考 观察下面四个命题: (1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; (2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; (3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; (4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数 我们已经知道命题(1)与命题(2)(3)(4)之间的关系.你能说出其 中任意两个命题之间的相互关系吗? 6■
"B l q 9 g!j p". 4312~ $U%~BIW!B "Fl&%A%i% HBBiT'i?"? BP&'ENi&!B&BS "mB%* F6, rn&fi5rn%"*
第一章常用逻辑用语 第一章 我们发现,命题(2)(3)是互为逆否命题,命题(2)(4)是互否命题,命题(3)(4) 是互逆命题 般地,原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系,如图1.1-1 所示 若p,则 若q,则 互逆 原命题 逆命题 逆 否 否 否命题 逆否命题 互逆 若-p,则 若-q,则 图 上面考察了四种命题之间的相互关系,那么,它们的真假性是否也有一定的相互关 系呢? 以“思考”中的命题(1)~(4)为例,并设命题(1)是原命题.容易判断,原命题 (1)是真命题,它的逆命题(2)是假命题,它的否命题(3)也是假命题,而它的逆否命 题(4)是真命题 探 究 1.以“若x2-3x+2=0,则x=2”为原命题,写出它的逆命 题、否命题与逆否命题,并判断这些命题的真假 2.分析其他的一些命题,你能从中发现四种命题的真假性间有什么规律吗? 般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况: 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真真假假 假 。真 真假一真假 真真一假假 假 由于逆命题和否命题也是互为逆否命题,因此四种命题的真假性之间的关系如下: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性 (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,所以在直接证明某一个命题为真命题有 困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题 7
CHAPTER 普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1 例4证明:若x2+y2=0,则x=y=0 分析:将“若x2+y2=0,则x=y=0”视为原命题.要证明原命题为真命题,可以 考虑证明它的逆否命题“若x,y中至少有一个不为0,则x2+y2≠0”为真命题,从而达 到证明原命题为真命题的目的 证明:若x,y中至少有一个不为0,不妨设x≠0,则x2>0,所以 也就是说x2+y2≠0. 因此,原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题. 练习 证明:若a2-b2+2a-4b-3≠0,则a-b≠1. 习题1.1 A组 1.判断下列语句是不是命题: (1)12>5; (2)若a为正无理数,则a也是无理数; (3)x∈{1,2,3,4,5 (4)正弦函数是周期函数吗? 2.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假 (1)若a,b都是偶数,则a+b是偶数; (2)若m>0,则方程x2+x-m=0有实数根 3.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题,然后判断它 们的真假 (1)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; (2)矩形的对角线相等 4.求证:若一个三角形的两条边不相等,则这两条边所对的角也不相等 B组 求证:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分 山山山山
pa>b,ga+c>b+c peq 12 充分条件与必要条件 121充分条件与必要条件 1前面我们讨论了“若p,则q”形式的命题,其中有的命题为真命题,有的命题 为假命题.例如,下列两个命题中 (1)若x>a2+b2,则x>2ab, (2)若ab=0,则a=0, 命题(1)为真命题,命题(2)为假命题 一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时;我们就 说,由p可推出q,记作 并且说p是q的充分条件( sufficient condition),q是p的必要条件( necessary condi 上面的命题(1)是真命题,即 x>a2+b2→x>2ab ●因为命题(1 所以“x>a2+b”是“x>2ab”的充分条件,“x>2ab”1的香命题“若2 则x≤a2+b2”也是真命 是“x>a2+b2”的必要条件0 题。这就是说,要 >a2+b2成立,就 须有x>2ab成立,因 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中此,“x>2b”是“x> 的p是q的充分条件? a2+b2”成立的必要 条件 (1)若x=1,则x2-4x+3=0; (2)若f(x)=x,则f(x)在(-∞,+∞)上为增函数; (3)若x为无理数,则x2为无理数 解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题.所以,命题(1)(2)中的 是q的充分条件 如果“若p,则q”为假命题,那么由p推不出q,记作pq此时,我们就说 p不是q的充分条件,q不是p的必要条件 9
I I @iSRlI"Ji?l%T "8 P, WIJ 4" %SM.&lrH, 3&+?iBtJ&~%&&B, fiLtS&EE %ass@. @Jan, -Fgm+&g.e : g. I (1) sx>a2+b2, W!J x>2ab, I (2) ab=O, JIJ a=O, ; rRr 1) %SrRr%, IfIra (2) %#&a. I -&a. "s p, J!J d' %BrRrH9 EtEh P 3i~%BxU%a q. 2@; %kin% ' I %. IpGtlq. ZtF I I P=% 9 I #Hi# p Bq mAfi&* (sufficient condition), q g p m&E&# (necessary condi- , I I tion). I lmM9a(1)ETC.9a,IP I -7s I x>a2 +b2*x>2ab, Q a%+J!i (1'1 I fill4 "x>a2+b2" E "x>2ab" M%%&#, "z>2ab" g5 X%+& "#x<2ab, I 14 x<aZ +b2" tRX+ I ji5 "x>a2 +@" B(J&bS&#@. a. &a&&, a.iaL . I x>a2+b2 &a, I %R*x>2ab&A. 8 I T3iJ "g p9 R!J q" %dM.&lr@+ !%&%14 a, "x>2ab" K “x> I a2 + bzn J& ~ )i~.* ' I LtSpEqm%9%#? I I (1) Ex=1, WrJ 2-4x+3=0;
CHAPTER 普通高中课程标准实验教科书数芓选修1-1 例如,例1中的命题(3)是假命题,那么 x为无理数x2为无理数, 所以“x为无理数”不是“x2为无理数”的充分条件,“x2为无理数”不是“x为无理数” 的必要条件 例2 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件? (1)若x=y,则x2=y2; (2)若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等; (3)若a>b,则ac>bc 解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题.所以,命题(1)(2)中的q是p 的必要条件 练习 1.用符号“→”与“∥填空: (1)x2=y2 I-y; (2)内错角相等 两直线平行; (3)整数a能被6整除 a的个位数字为偶数; (4) ac=bc =b 2.下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件? (1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行; (2)若x>5,则x>10. 3.下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件? (1)若a+5是无理数,则a是无理数; (2)若(x-a)(x-b)=0,则x=a 4.判断下列命题的真假: (1)x=2是x2-4x+4=0的必要条件; (2)圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件; (3)sina=sinP是a=P的充分条件 (4)ab≠0是a≠0的充分条件 10
(3) sin a=sin PBa=p &&*A#;