)无偏估计 根据样本推得的估计值与真值可能不同,然而, 如果有一系列抽样构成各个估计,很合理地会 要求这些估计的期望值与未知参数的真值相 等,它的直观意义是样本估计量的数值在参数 的真值周围摆动,而无系统误差 定义82如果EB=战成立,则称估计 6为参数θ的无偏估计
7 (二) 无偏估计 根据样本推得的估计值与真值可能不同, 然而, 如果有一系列抽样构成各个估计, 很合理地会 要求这些估计的期望值与未知参数的真值相 等, 它的直观意义是样本估计量的数值在参数 的真值周围摆动, 而无系统误差. . ˆ , ˆ 8.2 为参数 的无偏估计 定义 如果 成立 则称估计 q q Eq =q
例1从总体取一样本(X12,…,X),E=p Da2,试证明 X及S2分别是及σ的无偏估计 证容易证明EX=p,DX=a2/n 而∑(X1-)2|=E∑(X2-2XX+2 E>X2-2X>X,+nX =E∑X2-2nx2+nx2|=∑x2-nX2
8 例1 从总体x中取一样本(X1 ,X2 ,...,Xn ), Ex=m, Dx=s2 , 试证明 = − = − + = − + = − + − = = = = = = = = 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 2 ) , / . E X nX nX E X nX E X X X nX E X X E X X X X EX DX n X S n i i n i i n i i n i i n i i i n i 而 i 证 容易证明 及 分别是 及 的无偏估计 m s m s
+)=xm EH2-mE2=m(a2+2)-a2-n2 (n-1) 其中EX2=DX+(EX)2=a2+12 EX= DX+(EX)
9 即 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 ( )( ) ( 1) ( ) ( ) m s s m s s m s m = + = + = + = + = − = − = + − − = − − = = =n EX DX EX EX DX EX n EX nEX n n E X X E X nX i i i ni i ni i ni i 其中
因此 ES=En-12C EECX-X (n-1)o2=a 所以S2为无偏估计
10 因此 . ( 1) 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 所以S 为无偏估计 n n E X X n X X n E S E n i i n i i − s = s − = − − = − − = = =