注：在一个非唯一分解环，一个非零元a的因子,可以有无穷多个不相伴的(吴品三,p181)一个唯一分解环有下面重要性质定理1一个唯一分解环有以下性质；iii）若一个素元p能够整除余ab，那么p能够整除a或b
一个唯一分解环有下面重要性质。 定理 1 一个唯一分解环有以下性质； （ⅲ）若一个素元 能够整除 ，那么 能够整除 或 。 p ab p a b 注: 在一个非唯一分解环, 一个非零元a 的 因子, 可以有无穷多个不相伴的(吴品三,p181)
证明p能够整除abab = pc(1)当α,b之中有一个是零或是单位的时候，定理也是对的。若α=0,那么 plα。若α是单位那么b= p(ca-"),plb(2）α和b都不是零元，也都不是单位。这时c显然不等于零。我们说c又不是一个单位。不然的话（=c是一个单位ab= pe
证明 p 能够整除 ab ab pc = (1) 当 之中有一个是零或是单位的时候，定 理也是对的。若 ，那么 。若 是单位， 那么 a b, a = 0 p a| a ( ) 1 b p ca p b , | − = (2) 和 都不是零元，也都不是单位。这时 c显然不等于零。我们说c又不是一个单位。不 然的话 a b ab p c = = ( 是一个单位)
而由IV，1定理2，p8是素元。这就是说，素元p8可以写成两个非单位的乘积，因而有真因子。这是矛盾。c既不是零又不是单位，由唯一分解环的定义c= pP2 ·Pn(p,是素元)另一方面a=qq2…q,，b=qiq2q(qi,,是素元)这样，qi92qqiq2..q,=ppP2pn
而由Ⅳ，1定理2， 是素元。这就是说，素元 可以写成两个非单位的乘积，因而有真因子。这 是矛盾。 c既不是零又不是单位，由唯一分解环的定义， c p p p p = 1 2 n i ( 是素元) p p 另一方面 a q q q b q q q q q = = 1 2 1 2 r s i i ， ( , 是素元) 这样， 1 2 1 2 1 2 r s n q q q q q q pp p p =