解答提示：例2.判别下列级数的敛散性2n元81(n!)2ncos3(2) Z(3) Z(I) Z2nVNn2nn=1n=1nn881O(5) Z(a>0, s >0)>(4)S10n=1 nn=2ln1° n提示:（1）：lim/n=1，V>0,N，当n>N时,有n>80111-</n<l+nn/nn(1+)因调和级数发散,据比较判别法，原级数发散oe000x机动目录上页下页返回结束
解答提示: 例2. 判别下列级数的敛散性: 提示: (1) lim =1, → n n n 1− 1+ n n 因调和级数发散, 据比较判别法, 原级数发散 . 0 , N , 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(n!)?(2) ≥利用比值判别法，可知原级数发散2nn=18n>收敛用比值法，可判断级数2n元8ncOSn=12h3(3) Z2n再由比较法可知原级数收敛n=l81Z(4)因 n 充分大时Z=发散,1010n=2lnnnIn'nn=2n原级数发散qh8(5) Z(α>0,s>0)：用比值判别法可知：n=insα<1时收敛；α>1时发散S>1 时收敛：aα =1 时,与p级数比较可知S≤1 时发散O0000?机动目录上页下页返回结束
利用比值判别法, 可知原级数发散. 用比值法, 可判断级数 因 n 充分大时 , ln 1 1 10 n n ∴原级数发散 . : 2 cos (3) 1 3 2 n= n n n (5) ( 0, 0): 1 = a s n a n s n 用比值判别法可知: 时收敛 ; 时, 与 p 级数比较可知 s 1 时收敛; 时发散. 再由比较法可知原级数收敛 . s 1 a 1 a 1 时发散. a =1 发散, 收敛, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
88un和vn都收敛,证明级数例3.设正项级数n=1n=18Z(un+vn)也收敛.n=1提示:因 lim un= lim vn =O,:.存在 N>0,当n >N时n-0n->0又因(un +Vn)≤2(un2+Vn)<2(un+vn)(n>N)利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确O0000?机动目录上页下页返回结束
例3. 设正项级数 和 也收敛 . 提示: 因 lim = lim = 0 , → → n n n n u v 存在 N > 0, 又因 2( ) 2 2 n n u + v 利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确. 都收敛, 证明级数 当n >N 时 机动 目录 上页 下页 返回 结束
88Zun收敛,且 lim=1,问级数例4.设级数Vn1n-> Unn=1n=1是否也收敛？说明理由8vn收敛,提示：对正项级数,由比较判别法可知n=1但对任意项级数却不一定收敛·例如，取(-1)n(-1)n1uV+nVnnVn(-1)nV.:1lim1inn-> UnVnn→888级数un收敛，级数yn发散n=1n=1Oe0DX机动目录上页下页返回结束
例4. 设级数 收敛 , 且 是否也收敛？说明理由. 但对任意项级数却不一定收敛 . 问级数 提示: 对正项级数,由比较判别法可知 级数 收敛 , n n n u v → lim 收敛, 级数 发散 . n n n ( 1) 1 lim − = + → =1 例如, 取 n n v n n ( 1) 1 + − = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性881Z(-1)+ in益;-(1) Z(-1)"(2) h+1hpn=1n=1880n+1Z(-1)n (n + 1)!(3) Z(-1)" ln(4)n+1nnn=1n=1提示：（1）P>1 时,绝对收敛;0 <p≤1 时,条件收敛;p≤0 时, 发散81Z收敛,故(2）因各项取绝对值后所得强级数n+1n=1元原级数绝对收敛Oe000?机动自录上页下页返回结束
; 1 (3) ( 1) ln 1 = + − n n n n 例5. 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: ; sin (2) ( 1) 1 1 1 1 = + + + − n n n n 提示: (1) P >1 时, 绝对收敛 ; 0 < p ≤1 时, 条件收敛 ; p≤0 时, 发散 . (2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 . 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 1 1 1 收敛 = + n n