《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第二章 矩阵及其运算 2-3 逆矩阵

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHH2a +c = 1,= 0,a2b + d = 0,b = -1,IL-a= 0,c= 1,- b = 1,d = 2.又因为ABBA1-C所以上页下页返回

       − = − = + = + =  1, 0, 2 0, 2 1, b a b d a c        = = = − =  2. 1, 1, 0, d c b a 又因为       − 1 0 2 1       − 1 2 0 1       − 1 0 2 1 =       − 1 2 0 1 , 0 1 1 0       = 所以 . 1 2 0 1 1       − = − A AB BA

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH矩阵A可逆的充要条件是A+0，且定理1其中A*为矩阵A的伴随矩阵证明 若 A可逆，即有A-使AA=E.故A·A=E=1,， 所以A￥0.当A￥0时，正页回下页

定理1 矩阵 可逆的充要条件是 ，且 , −1 1  = A A A A A  0 证明 若 A 可逆， A AA = E. 即有 −1使 −1 1, 1  = = − 故 A A E 所以A  0. 其中A 为矩阵A的伴随矩阵.  当A  0时

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH当A￥0时，auA +ai2A2 +..-+ ainAin =AanAn + an2An2 +...+ amAm. =|Al国下质

当A  0时,                             =  n n nn n n n n nn n n A A A A A A A A A a a a a a a a a a AA               1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 a11A11 + a12A12 ++ a1nA1n = A an1An1 + an2An2 ++ annAnn = A ,               = A A A A O O 

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHAAA*=A*A=AE→A=E,AA按逆矩阵的定义得A证毕4A奇异矩阵与非奇异矩阵的定义当A=0时,A称为奇异矩阵当A±0时,A称为非奇异矩阵由此可得A是可逆阵的充要条件是为非奇异矩阵上页回下页

AA = A A = AE   A E, A A A A  A = =   . 1 A A A  − = 按逆矩阵的定义得 证毕 . 0 , , 0 , 非奇异矩阵 当A = 时 A称为奇异矩阵当A  时 A称 为 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 由此可得A是可逆阵的充要条件是A为非奇异矩阵

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH推论若AB= E(或BA=E),则B= A-1证明A·B=E=1， 故A±0,因而A-I存在，于是B= EB=(A-1A)B= A-(AB)=N-E =W-I证毕逆矩阵的运算性质(1)若A可逆,则A-亦可逆,且(A-) = A上页下页回

A  B = E = 1, 故 A  0, , 因而A −1存在 于是 B = EB (A A)B −1 = A (AB) −1 = A E −1 = . −1 = A 证毕 ( ), . −1 推论 若AB = E 或BA = E 则B = A 证明 (1) , , ( ) . 1 1 1 A A A = A − 若 可逆 则 − 亦可逆 且 − 逆矩阵的运算性质