第十章：二元微积分概要习题课主要内容：自的要求二、内容结构三、典型例题四、练习题
第十章 二元微积分概要 习 题 课 主要内容： 一、目的要求 二、内容结构 三、典型例题 四、练习题
目的要求理解二元函数及其极限和连续的概念；会求二元函数的偏导数和全微分；掌握二重积分的概念、计算和简单应用：使学生了解笛卡儿在数学发展中所做的里程碑式的贡献
理解二元函数及其极限和连续的概念； 会求二元函数的偏导数和全微分； 掌握二重积分的概念、计算和简单应用； 目的要求 使学生了解笛卡儿在数学发展中所做的里 程碑式的贡献
空间直角坐标系知识网络图曲面与方程预备知识空间解析几何曲线与，曲面是否断裂二元函数的定义、极限、连续性二元函数的基本概念偏导数定义、计算元函数二元函数微分学全微分定义、复合函数的微分应用（二元函数的极值）极值的定义、极值的充分条件、最值二重积分的概念、性质、计算二元函数积分学平面图形面积、几何应用应用旋转体体积变力做功、质量物理应用
知识网络图 二 元 函 数 预备知识——空间解析几何 二元函数的基本概念 二元函数微分学 二元函数积分学 空间直角坐标系 曲面与方程 曲线与方程 偏导数 全微分 应用（二元函数的极值） 定义、计算 定义、复合函数的微分 极值的定义、极值的充分条件、最值 二重积分的概念、性质、计算 应用 二元函数的定义、极限、连续性 物理应用 几何应用 平面图形面积、 旋转体体积 变力做功、质量 曲面是否断 裂
例题例1 试在x轴上求一点M,使它与点A(2,1,3)的距离为/19提示与分析：设出x轴上所求点M的坐标，利用两点间距离公式7解 设M的坐标为(x,0,0)A(2,1,3)d = /19 =|MA/19= /(x -2) +(0-1) +(0 -3)M(x.0,0)福两边平方,解得：（x-2)=9xX = 5,x =-1综上,所求点的坐标为(5,0,0),(-1,0,0)
例1 试在x M A 轴上求一点 , (2,1,3) 19. 使它与点 的距离为 解 提示与分析: 设出x轴上所求点M的坐标，利用两点 间距离公式. 例 题 y x z O A(2,1, 3)M x( ,0,0) 19 d = 19 = MA2 2 2 = − + − + − ( 2) (0 1) (0 3) x 两边平方, : 解得 2 ( 2) 9 x − = 1 2 x x = = − 5, 1 综上, (5,0,0),( 1,0,0). 所求点的坐标为 − 设M x 的坐标为( ,0,0)
例2 求到定点A(0,0,-4)与B(0,0,4)的距离之和为10的点的轨迹.提示与分析：设出曲面上亻用已知求得车解设M的坐标为(x,y,z),3210= MA|+MB0= /x2 + y2 +(z + 4)-34方程两边同时平方，化52275y0925到空间两点的距离和等于定值的曲面是椭球面
求到定点 与 的距离之和为 的点 的轨迹 (0,0, 4) (0,0,4) 10 . 例2 A B − 解 提示与分析: 设出曲面上任意一点的坐标，利 用已知求得轨迹方程. M x y z ( , , ) y x z O B(0,0,4) A(0,0, 4) − 10 = MA MB + 设M x y z 的坐标为( , , )， 2 2 2 2 2 2 = + + + + + + − x y z x y z ( 4) ( 4) 方程两边同时平方，化简得 2 2 2 1. 9 9 25 x y z + + = 到空间两点的距离和等于定值的曲面是椭球面