山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（教案讲义）第八章 多项式矩阵

000100(1022元20元0元00一元→→-12- 13-元3-元22+元00+元O06

6 2 2 2 3 2 3 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0                                         2 1 0 0 0 0 0 0               

83不变因子现在来证明，几-矩阵的标准形是唯一的一、行列式因子1．定义5设-矩阵A(a)的秩为r，对于正整数k,1≤k≤r,，A(a)中必有非零的k级子式。A()中全部k级子式的首项系数为1的最大公因式D,(a)称为A(a)的k级行列式因子(1-元2元-1元元-元A(2) =(1++-1-由定义可知，对于秩为r的元-矩阵，行列式因子一共有r个.行列式因子的意义就在于，它在初等变换下是不变的2．行列式因子在初等变换下保持不变，从而有定理3等价的入-矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子3.标准形矩阵的行列式因子设标准形为(d,(a)d;(a).(1)d,(a)00其中d,(a),d2(a),,d,(a)是首项系数为1的多项式，且d,(a)ld(a).(i=1,2，，r-1)不难证明，在这种形式的矩阵中，如果一个k级子式7

7 §3 不 变 因 子 现在来证明，  矩阵的标准形是唯一的. 一、行列式因子 1．定义 5 设  矩阵 A() 的秩为 r ，对于正整数 k,1 k  r,， A() 中 必有非零的 k 级子式. A() 中全部 k 级子式的首项系数为 1 的最大公 因式 () Dk 称为 A() 的 k 级行列式因子.                   2 3 2 2 1 1 1 2 1 ( )           A  由定义可知，对于秩为 r 的  矩阵，行列式因子一共有 r 个.行 列式因子的意义就在于，它在初等变换下是不变的. 2．行列式因子在初等变换下保持不变， 从而有 定理 3 等价的  矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子. 3．标准形矩阵的行列式因子. 设标准形为                       0 0 ( ) ( ) ( ) 2 1      dr d d (1) 其中 ( ), ( ), , ( ) d1  d2   dr  是首项系数为 1 的多项式，且 1 ( ) | ( ) i i d d    . ( 1 , 2 , , 1) i r   不难证明，在这种形式的矩阵中，如果一个 k 级子式

包含的行与列的标号不完全相同，那么这个k级子式一定为零．因此，为了计算k级行列式因子，只要看由ii2,…i行与i,i2,…,i列组成的k级子式就行了，而这个k级子式等于d, (),d, (a),..,d, (a)显然，这种k级子式的最大公因式就是d,(a)d,(a)d(a)定理4入-矩阵的标准形是唯一的证明设(1)是A(2)的标准形.由于A(2)与(1)等价，它们有相同的秩与相同的行列式因子，因此，A(a)的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数r；A(2)的k级行列式因子就是(2)D(a)=d,(a)d,(a)...de(a) (k =1,2,.,r)于是d(a)= D;(a) , d,(a)= D:()D,(a)(3)D(a) ,d (a) =Dr-1(a)这就是A(2)的标准形(1)的主对角线上的非零元素是被A()的行列式因子所唯一决定的，所以A()的标准形是唯一的二、不变因子.1.定义6标准形的主对角线上非零元素d,(a),d,(a),,d,(a)称为元-矩阵A()的不变因子2．定理5两个元-矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者它们有相同的不变因子8

8 包含的行与列的标号不完全相同，那么这个 k 级子式一定为零. 因此， 为了计算 k 级行列式因子，只要看由 k i ,i , ,i 1 2  行与 k i ,i , ,i 1 2  列组成的 k 级子式就行了，而这个 k 级子式等于 ( ), ( ), , ( ) 1 2    k di di  di 显然，这种 k 级子式的最大公因式就是 ( ) ( ) ( ) d1  d2  dk  定理 4  矩阵的标准形是唯一的. 证明 设(1)是 A() 的标准形. 由于 A() 与(1)等价，它们有相同 的秩与相同的行列式因子，因此， A() 的秩就是标准形的主对角线上 非零元素的个数 r ; A() 的 k 级行列式因子就是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1,2, , ) 1 2 D d d d k r k      k    . (2) 于是 ( ) ( ) , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) 1 1 2 1 1 2             r r r D D d D D d D d  . (3) 这就是 A() 的标准形(1)的主对角线上的非零元素是被 A() 的行列式 因子所唯一决定的，所以 A() 的标准形是唯一的. 二、不变因子. 1．定义 6 标准形的主对角线上非零元素 ( ), ( ), , ( ) d1  d2   dr  称为  矩阵 A() 的不变因子. 2．定理 5 两个  矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式 因子，或者它们有相同的不变因子