《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 向量组的线性相关性 4-4 线性方程组的解的结构

线性代数故程 第0101节二阶与三阶行列式 23:46 现对x,+1,xn取下列n-”组数： X:+I :U X=-bux-bnxn 分别代入 x,=-b1x,+1-bn-x 第1页

线性代数教程 线性代数小组 第0101节 二阶与三阶行列式 23:46 第11页 现对 x r+1 ,  , x n 取下列 n− r 组数：               + + n r r x x x  2 1      = − − − = − − − + − + − r r r r,n r n r ,n r n x b x b x x b x b x    1 1 1 1 1 1 1 分别代入 , .               1 0 0  ,               0 1 0  ,               = 0 0 1  

线性代数故程 第0101节三阶与三阶行列式 2346 依次得 的 从而求得原方程组的n-r个解： -b1 -b12 -b1n- b -b, 5= 1 52= 0 0 1 :0 :0 :1 第12页

线性代数教程 线性代数小组 第0101节 二阶与三阶行列式 23:46 第12页 依次得           xr x  1 , b b r                       − − = 0 0 1 1 11 1    , 0 1 0 2 12 2                       − − =   br b  . b b r,n r ,n r n r                       − − = − − − 1 0 0 1    从而求得原方程组的 n− r 个解： . b b , r,n r ,n r           − − − −  1 , b b r           − − 2 12 ,  b b r           − − = 1 11   

线性代数敖程 第0101节二阶与三阶行列式 2346 下面证明5,52，~，5，是齐次线性方程组解空 间的一个基 ()证明5,52，5n线性无关 10 00 由于n-r个n-r维向量 1 线性无关 所以n-r个n维向量5,52，.，5m亦线性无关， 第3页

线性代数教程 线性代数小组 第0101节 二阶与三阶行列式 23:46 第13页 下面证明 是齐次线性方程组解空 间的一个基． n r , , ,  1  2   −                                           1 0 0 , , 0 1 0 , 0 0 1     由于 n − r 个 n − r 维向量 线性无关， 所以 n − r 个 n 维向量 n r 亦线性无关. , , ,  1  2   − (1) , , , . 证明 1  2   n 线性无关

线性代数故程 第0101节二阶与三阶行列式 2346 (2)证明解空间的任一解都阿由51,52，.，5n, 线性表示 设x-5-(·人，21.1n)}为上述 方程组的一个解.再作5,52，5m,的线性组合， 7=九，+151+九+252+.+九5n-, 由于5,52，.，5m,是Ax=0的解，故7也是4x=0的 解. 下面来证明5=7. 第14项

线性代数教程 线性代数小组 第0101节 二阶与三阶行列式 23:46 第14页 . (2) , , , 1 2 线性表示 证明解空间的任一解都可 由     n−r ( ) . 1 1 方程组的一个解 设 为上述 T x =  =   r r+   n , , , , 再作 1  2   n−r 的线性组合  = r+1 1 + r+2 2 ++  n n−r 由于 是 的解 故 也是 的 解. n r , , ,  1  2   − Ax = 0 ,  Ax = 0 下面来证明 =

线性代数敖程 第0101节二阶与三阶行列式 23:46 7=九+151+人+252+.+九n5m- -by -b2 -b2 br- 入+ 1 +入+2 0 0 0:0 1.: 0 0 由于与7都是方程Ax=0的解，而Ax=0又等价于 第15页

线性代数教程 线性代数小组 第0101节 二阶与三阶行列式 23:46 第15页                       − − = + 0 0 1 1 11 1   r r b b                        − − + + 0 1 0 2 12 2   r r b b                        − − + + − − 1 0 0 1    r,n r ,n r n b b   = r+1 1 + r+2 2 ++  n n−r                       = + + n r r r c c      2 1 1 由于与都是方程Ax = 0的解,而Ax = 0又等价于