《理论力学》课程教学资源（PPT讲稿）第八章 分析动力学初步（8.2）第二类拉格朗日方程及其应用

上次课问题 例8-15建立如图所示系统的运动微分方程。 约束方程为:y=-,y2=F x+x2=const 1=2=0,x1+aix2=0 (m4g-m1x1)1+(m2g-m22)Dx2=0 十远2=0∴:[(m2-m)g-(m+m1)212=0 由于&是任意的,可以得出运动微分方程: (m+m2)x2=(m2-m1)g 若约束仅为绳不可伸长,怎么办?

例8-15 建立如图所示系统的运动微分方程。 (m1 g −m1  x  1 )x1 +(m2 g −m2  x  2 )x2 = 0 约束方程为： , 1 y = −r y1 =y2 = 0, x1 +x2 = 0 ( ) ( )  0  m2 −m1 g − m1 +m2  x  2 x2 = 上次课问题 x + x = const 1 2 y = r 2 由于 x2 是任意的，可以得出运动微分方程： (m1 +m2 ) x  2 = (m2 −m1 )g o x m1 m2 y 若约束仅为绳不可伸长，怎么办？   x  1 +  x  2 = 0

第八章分析动力学初步 Lagrange方程 ●§8-2第二类拉格朗日方程及其应用 第二类拉格朗日( Lagrange)方程 用广义坐标表示的完整系统的动力学普遍方程 对于完整系统,如果用3N个笛卡儿坐标描述,由 ●于3N个坐标受约束而不能独立变化,任何一组虚 位移δx1,δy1,δz1,…,6x,6y,6二都不是独立 的;如果用n个广义坐标描述,由于广义坐标是独 立的,任何一组虚位移δq,…,.qn都是独立的

§8-2 第二类拉格朗日方程及其应用 一、第二类拉格朗日(Lagrange)方程 用广义坐标表示的完整系统的动力学普遍方程。 Lagrange方程 第八章 分析动力学初步 N N N x , y , z , ... , x , y , z  1  1  1    对于完整系统，如果用3N个笛卡儿坐标描述，由 于3N个坐标受约束而不能独立变化，任何一组虚 位移 都不是独立 的；如果用n个广义坐标描述，由于广义坐标是独 立的，任何一组虚位移  q1 , ... , qn 都是独立的

第八章分析动力学初步 Lagrange方程 因此,如果我们将动力学普遍方程 ∑(F7-m12)·元=0 借助关系式=F(q129n21)表示成 ∑Lq1=0 则由 6qn的独立性可得n个独立方程: L.=0.t=1 具体写出L=0的形式,就是第二类拉格朗日方程 二:简称拉氏二类方程/拉格朗日方程拉氏方程

Lagrange方程 第八章 分析动力学初步 ( ) 0 1  −  = = i N i i i i F m r r      因此，如果我们将动力学普遍方程 ( ,... , ) 1 r r q q t i i n   借助关系式 = 表示成 0 1  = = i n i Li  q 则由  q1 , ... , qn 的独立性可得n个独立方程： Li = 0 , i =1,..., n 具体写出 Li = 0 的形式，就是第二类拉格朗日方程。 简称拉氏二类方程 / 拉格朗日方程 / 拉氏方程

第八章分析动力学初步 Lagrange方程 下面就是具体推导 Lagrange方程的过程: 由=F(q12…qn21)可得: →∑FδF=∑(∑F 0r1)64/=∑Q,84j Q1=∑ 称为对应广义坐标9的广义力。 ∑m67=Σm1)5q1=∑Zq 下面具体写出Z

Lagrange方程 第八章 分析动力学初步 j n j j i i q q r r 1      = =   下面就是具体推导Lagrange方程的过程： 由 ri ri (q1 ,...qn ,t) 可得：   = j n j j j j i n j N i i i N i i q Q q q r F r ( F ) 1 1 1 1   =       =    = = = =     =      =    = = = = n j j j j j i i n j N i i i N i i i q Z q q r m r r m r 1 1 1 1  ( )        下面具体写出 Z j 称为对应广义坐标 qj 的广义力。 j i N i j i q r Q F   =   =   1

第八章分析动力学初步 Lagrange方程 ∑ or d e minaj 利用分部积分一下面证明拿下面证明拿 ∑m ;|d,T、oT i=1 aqil dt aq aq 其中T=∑m12为系统的动能

Lagrange方程 第八章 分析动力学初步 j i i N i j i q r Z m r   =   =    1 j i i N i i j i N i i i q r dt d m r q r m r dt d   −    =    = =       1 1 ( ) j i q r      j i q r     下面证明 下面证明 j i N i i i j N i j i i q r m r q r m r dt d Z   −    =    = =          1 1 ( ) j qj T q T dt d   −   = ( )  利用分部积分 2 1 2 1 i i N i T =  m r = 其中 为系统的动能