第七章刚体动力学 陀螺近似理论 §7-5陀螺近似理论 1陀螺基本公式 陀螺:定点运动的轴对称刚体(A=B) 我们知道若M=0,A=B,则刚体作规则进动 反之,若刚体规则进动且A=B,那么M/()=? M12=A4-(4-Co sin esin M,=Aiv-(C-Aa @,=Usin 6 cos M=C a-=cosy+op 欧拉动力学方程 欧拉运动学方程
第七章 刚体动力学 陀螺近似理论 陀螺：定点运动的轴对称刚体（A=B） 我们知道若 Mo (e) = 0, A = B ，则刚体作规则进动； 反之，若刚体规则进动且A=B，那么 ( ) = ? e Mo = + = = cos sin cos sin sin z y x 欧拉动力学方程 欧拉运动学方程 §7-5 陀螺近似理论 1 陀螺基本公式 ( ) ( ) z z y y x z x x y z M C M A C A M A A C = = − − = − −
第七章刚体动力学 陀螺近似理论 利用规则进动特点b=6= const V=a2=const, P=0,=const @r=sin esin p 对欧拉运动学方程{0,= y sin 0 cose求导得 a-=cosy+op ax=oisin 8 cos =O,@2 sin Bo cos p, y=-oysn sm=-O1@2 sn o sn p, 0
利用规则进动特点 第七章 刚体动力学 陀螺近似理论 = + = = cos sin cos sin sin z y x 对欧拉运动学方程 求导得： 0 sin sin sin sin , sin cos sin cos , 1 2 0 1 2 0 = = − = − = = z y x const const const = = = = = = 1 2 0 , ,
第七章刚体动力学 陀螺近似理论 M、=A、-(A-C 代入欧拉动力学方程M1=Al,-(C-4o, M=Ce 2 得 M=[CO,O2-(A-C)o2 cos 0 ]sin 0 cos P M,=C2-(4-Co2 COS oSIn 6 0 sin g M.=0
第七章 刚体动力学 陀螺近似理论 得： [ ( ) cos0 ]sin0 cos 2 Mx = C 1 2 − A−C 2 Mz = 0 [ ( ) cos 0 ]sin 0 sin 2 M y = − C 1 2 − A−C 2 代入欧拉动力学方程 ( ) ( ) z z y y x z x x y z M C M A C A M A A C = = − − = − −
第七章刚体动力学 陀螺近似理论 Mo=Me +m,ev=molex cos o-e, sin 其中M=O1O2sinO0C-(A-C) cos 0o2/o1] 我们知道节线ON的单位向量 Z i N=ex cos -ey sin p 故Mn=M2eN 6 容易验证: 02×O1=O21Sn60eN X
第七章 刚体动力学 陀螺近似理论 Z z y o Y X N x k 2 = 1 3 e = Mo ( cos sin ) o x x y y o x y M M e M e M e e = + = − 我们知道节线ON的单位向量 sin [ ( )cos / ] 其中 Mo =1 2 0 C − A−C 0 2 1 e N ex cos ey sin = − 故 o o N M M e = 容易验证： N e 2 1 2 1 0 = sin
第七章刚体动力学 陀螺近似理论 最后,轴对称刚体作规则进动所受的力矩为: Mo=02XO,[C+(C-a)-2cosBo1 此式称为陀螺基本公式 特殊情况: 当O=90°或A=B=C时M。=C2×1 时M0≈C2×1
[ ( ) cos ] 0 1 2 2 1 Mo = C + C − A 此式称为陀螺基本公式。 当 或 时 当 时 = 90 0 A= B =C 2 1 Mo = C 1 2 2 1 Mo C 第七章 刚体动力学 陀螺近似理论 最后，轴对称刚体作规则进动所受的力矩为： 特殊情况：