第七章刚体动力学 刚体定点转动 ●§7-4刚体定点运动动力学 1运动微分方程 dt 取刚体固连坐标系oxyz G+× go dt os(e) 在刚体固连坐标系0xyz中方程的分量形式为
第七章 刚体动力学 刚体定点转动 §7- 4 刚体定点运动动力学 (e) Go Mo dt d = 取刚体固连坐标系oxyz = o o G J ( ) ~ e o o Go Mo dt d G G dt d + = = 1 运动微分方程 在刚体固连坐标系oxyz中方程的分量形式为
第七章刚体动力学 刚体定点转动 J J、G-+ y +Jy(2-02)+20203-J2023=Mx (y,z方向的分量表达式略。) 若oxyz为主轴坐标系,则方程为 AOx(B-C)o M B0,-(C-Ao0=M,此称为欧拉方程 (A-B)o,0,=M A=J.B=J.C=J y
( ) x x xy y xz z z y y z J − J − J + J − J 若oxyz为主轴坐标系，则方程为 此称为欧拉方程 第七章 刚体动力学 刚体定点转动 ( ) yz z y xy z x xz y x Mx + J − + J − J = 2 2 （y，z方向的分量表达式略。） ( ) ( ) ( ) − − = − − = − − = z x y z y z x y x y z x C A B M B C A M A B C M x y z A = J , B = J , C = J
第七章刚体动力学 刚体定点转动 2欧拉方程的积分 仅在特殊情况下可求岀适用任何初值的精确解, 1)欧拉情况(1758年):M()=0本课程主要介绍 2)拉格朗日情况(1788年):A=B,只受重力作用, 重心在对称轴上,即x2=y=0,=。≠0 3)科娃列夫斯卡娅(1889年):A=B=2C 重心在赤道面上,即x2≠0,y2≠0,=2=0 4)已证明(1905年):不存在第四种可积情况
2 欧拉方程的积分 3)科娃列夫斯卡娅(1888年)： 重心在赤道面上，即 A= B = 2C xc 0, yc 0, zc = 0 第七章 刚体动力学 刚体定点转动 ( ) 0 e Mo 1)欧拉情况(1758年)： A = B xc = yc = 0, zc 0 2)拉格朗日情况(1788年)： ，只受重力作用， 重心在对称轴上，即 4)已证明（1905年）：不存在第四种可积情况。 仅在特殊情况下可求出适用任何初值的精确解。 本课程主要介绍
第七章刚体动力学 刚体定点转动 3刚体定点运动的欧拉情况 1)刚体永久转动:角速度向量相对刚体和惯 性空间不变的运动 角速度相对刚体不变→x=0y=0:=0 C-B)o 0=0 =0,O-≠0 (A-CoO2=0={0=0-=0,o,≠0 (B-A)o2o,=0 0.0,≠0 可见,永久转动只能是绕惯性主轴进行
1） 刚体永久转动：角速度向量相对刚体和惯 性空间不变的运动。 角速度相对刚体不变 x = y = z = 0 ( ) ( ) ( ) = = = = = = − = − = − = 0, 0 0, 0 0, 0 0 0 0 y z x x z y x y z x y x z y z B A A C C B 可见，永久转动只能是绕惯性主轴进行。 第七章 刚体动力学 刚体定点转动 3 刚体定点运动的欧拉情况
第七章刚体动力学 刚体定点转动 2)刚体永久转动稳定性: 对于欧拉情况,存在绕三个主轴的三种永久转动, 但是否都可以在物理上实现,要看其稳定性如何。 某个运动是稳定的是指:与此运动相应的初值受 到扰动产生的微小变化,不会使以后时刻的运动 产生显著变化。由于扰动是无法避免的,因此只 有稳定的运动在物理上可以实现。例如单摆的平 衡位置,数学上有两个(摆角为0和180度),但 稳定的只有一个(摆角为0度)
2) 刚体永久转动稳定性： 对于欧拉情况，存在绕三个主轴的三种永久转动， 但是否都可以在物理上实现，要看其稳定性如何。 第七章 刚体动力学 刚体定点转动 某个运动是稳定的是指：与此运动相应的初值受 到扰动产生的微小变化，不会使以后时刻的运动 产生显著变化。由于扰动是无法避免的，因此只 有稳定的运动在物理上可以实现。例如单摆的平 衡位置，数学上有两个（摆角为0和180度），但 稳定的只有一个（摆角为0度）