第一章静电场 导吉 相对于现察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场，称为静电场 本章首先介绍静电场中最主要的场量一电场强度E和标量电位。从库仑 定律出发，在分析真空中静电场的基础上，分别讨论导体和电介质对电场的影 响。电介质的影响可归结为板化后出现的极化电荷所产生的影响，从而引入电 毅化强度失量P。在研究电场强度失量闭合面积分的基础上，引入电通[量]密 度（又称电位移）D,并导得高斯定律(D·S=q小，它与静电场无旋特性 (付B·山=0）一起，构成特电场的积分形式的落本方程。 应用积分形式的基本方程，导得不同媒质分界面上的衔接条件。应用微分 形式的基本方程(D=P和7×E=0),导出电位p满足的泊松方程(2e= 在讨论静电场问题解答唯一性的基础上，先介绍三种直接解法一直接积 分法、分离变量法和有很差分法，然后介绍两种重要的特殊解法一镜像法和 电轴 本章将电客概念推广于多导体系统，引入部分电客。从场的角度，讨论了 静电能量的计算和静电能量的分布，引入静电能量密度。最后，重点讨论应用 虚位移法求电场力，并介绍关于电场力的法拉弟观点。 一静电场中的导体和电介质 1静电场中的导体 导体的特点是其中有大量的自由电子，因此导体为自由电荷可以在其中自由运动的物质。当将导体 入外电场中以后，其自由电荷将会在导体中移动，煤来的静电平衡状态被破坏。自由电荷的移动将使其积 紧在导体表面，并建立附加电场，直至其表面电荷（这些电荷也称为感应电荷）建立的附加电场与外加电场 在导体内部处处相抵消为止，这样才达到一种新的静电平衡状态，这时，将出现下列现象：第一，导体内 的电场为零，E=0。不然的话，导体内的自由电荷将受到电场力的作用而移动，就不属静电避的范围 第二，静电场中导体必为一等位体，导体表面必为等位面，因为导体中E了90.第三，导体表面上 的E必定垂直于表面。第四，导体如带电，则电荷只能分布于其表面。总之，静电场中导体的特点是：在 导体表面形成一定的面积电荷分布，使导体内的电场为零，每个导体都成为等位体，其表面为等位面。 2静电场中的电介质 与导体不同，电介质的特点是其中的电子被原子核所束缚而不能自由运动，称为束缚电荷。但在外加 电场的作用下，电介质分子中的正负电荷可以有微小的移动，但不能离开分子的范围，其作用中心不再重
第一章 静电场 导 言 一 静电场中的导体和电介质 1 静电场中的导体 导体的特点是其中有大量的自由电子，因此导体为自由电荷可以在其中自由运动的物质。当将导体引 入外电场中以后，其自由电荷将会在导体中移动，原来的静电平衡状态被破坏。自由电荷的移动将使其积 累在导体表面，并建立附加电场，直至其表面电荷(这些电荷也称为感应电荷)建立的附加电场与外加电场 在导体内部处处相抵消为止，这样才达到一种新的静电平衡状态。这时，将出现下列现象：第一，导体内 的电场为零，E＝0。不然的话，导体内的自由电荷将受到电场力的作用而移动，就不属静电问题的范围。 第二，静电场中导体必为一等位体，导体表面必为等位面，因为导体中 。第三，导体表面上 的 E 必定垂直于表面。第四，导体如带电，则电荷只能分布于其表面。总之，静电场中导体的特点是：在 导体表面形成一定的面积电荷分布，使导体内的电场为零，每个导体都成为等位体，其表面为等位面。 2 静电场中的电介质 与导体不同，电介质的特点是其中的电子被原子核所束缚而不能自由运动，称为束缚电荷。但在外加 电场的作用下，电介质分子中的正负电荷可以有微小的移动，但不能离开分子的范围，其作用中心不再重
合，形成一个个小的电偶极子，如图1所示，这种现象称为介质极化。极化的结果，使在电介质内部出现 连续的电偶极子分布。这些电偶极子形成附加电场，从而引起原来电场分布的变化。极化的电介质可视为 体分有的电偶极子，因此引起的附加电场可视为这些电偶极子的电场的叠加。 -q'+g ©©©© EDEDED ©©©⊙ SOOO -E。 ()极化前的介质分子 b)极化后形成电偶极了 图1 电介质的极化 整个极化电介所产生的电位为)点PV 上式应对电介质所在的体积进行积分，它可以写成 )iavf 也就是说，由极化电介质所产生的电位，等于电荷面密度为即的而积电荷与电荷体密度为P的体积电 荷共同产生的电位，即印=P·=一·P把卯称为电介质表面上的极化面积电荷的面密度，P称为 电介质内的极化电荷体密度。这两部分极化电荷的总和，一，-PPV+手，P:S 应等于零，符合电荷守恒理。P称为电介质的电极化强度，单位为Cm(库/米)。它从宏观上定量地 描述了电介质极化的程度，是极化后形成的每单位体积内的电偶极矩。实验表明，在各向同性的线性电 质中，电极化强度P与电场强度E成正比，即=E,X称为电介质的电极化率。 综上所述，电介质对电场的影响，可归结为极化后极化电荷或电偶极子在真空中所产生的作用。 二高斯定律 在无限大直空静电场中的任意闭合曲面$上，电场丞度正的面积分等于曲面内的总电荷 ?=dV的倍是s限定的体积)，而与曲面外电荷无关。其数学表示式为 f,E:ds=号=Jpdv 称之为真空中静电场的高斯定律。当有电介质存在时，电场可看成是由白由电荷和极化电荷共同在真空中 引起的，真空中静电场的高斯定律仍适用，只是总电荷不仅包括自由电荷9，而且包括极化电荷，即
合，形成一个个小的电偶极子，如图 1 所示，这种现象称为介质极化。极化的结果，使在电介质内部出现 连续的电偶极子分布。这些电偶极子形成附加电场，从而引起原来电场分布的变化。极化的电介质可视为 体分布的电偶极子，因此引起的附加电场可视为这些电偶极子的电场的叠加。 整个极化电介所产生的电位为 上式应对电介质所在的体积进行积分。它可以写成 也就是说，由极化电介质所产生的电位，等于电荷面密度为 的面积电荷与电荷体密度为 的体积电 荷共同产生的电位，即 把 称为电介质表面上的极化面积电荷的面密度， 称为 电介质内的极化电荷体密度。这两部分极化电荷的总和 应等于零，符合电荷守恒原理。P 称为电介质的电极化强度，单位为 。它从宏观上定量地 描述了电介质极化的程度，是极化后形成的每单位体积内的电偶极矩。实验表明，在各向同性的线性电介 质中，电极化强度 P 与电场强度 E 成正比，即 ，X 称为电介质的电极化率。 综上所述，电介质对电场的影响，可归结为极化后极化电荷或电偶极子在真空中所产生的作用。 二 高斯定律 在无限大真空静电场中的任意闭合曲面 S 上，电场强度正的面积分等于曲面内的总电荷 倍(y 是 S 限定的体积)，而与曲面外电荷无关。其数学表示式为 称之为真空中静电场的高斯定律。当有电介质存在时，电场可看成是由自由电荷和极化电荷共同在真空中 引起的，真空中静电场的高斯定律仍适用，只是总电荷不仅包括自由电荷 q，而且包括极化电荷 qp， 即
fav 式中q与分别为闭合面S内的总自由电荷和总极化电荷。为简化上面的方程，引入一新的物理量，令 D=oE+P (1-36 称D为电通量]密度，也称电位移，于是，得 手.D·ds=dV (1-37) 这是一般形式的高斯定律。它指出不管在真空中还是在电介质中，任意闭曲面S上电通密度D的面积分， 等于该曲面内的总自由电荷，而与一切极化电荷及曲面外的自由电荷无关.可以看到，引入D后，在方程 的右端只出现自由电荷，因为由极化而产生的极化电荷的效果已包括在P中，所以也就包括在D中了，这 样大大有利于电介质中电场的分析和计算。应用高斯散度定理于(1一37)式，则得 V.D=P 这是高斯定律的微分形式。它表明静电场中任一点上电通密度D的散度等于该点的自由电荷体密度。(1一3 6式称为电介质的构成方程.对于各向同性的电介质，将一3)式代入，得D=E+P=o(1+X)E, 引入=(1+X)0·0,则D=E=,E此式称为各向同性电介质的构成方程。E称为电介质的 介电常数而￡，=€/0称为相对介电常数，无量纲。 高斯定律反映了静电场的一个基本性质。在场的分布具有某种对称性（常见的有面对称、柱对称和球对 称)情况下，应用它来求解电场是很直接的， 三静电场基本方程 以下两组基本方程 fD.ds =edv (1-41) ∮，E·dl=0 (1-42)
式中 q 与 qp 分别为闭合面 S 内的总自由电荷和总极化电荷。为简化上面的方程，引入一新的物理量，令 （1－36） 称 D 为电通[量]密度，也称电位移，于是，得 （1－37） 这是一般形式的高斯定律。它指出不管在真空中还是在电介质中，任意闭曲面 S 上电通密度 D 的面积分， 等于该曲面内的总自由电荷，而与一切极化电荷及曲面外的自由电荷无关。可以看到，引入 D 后，在方程 的右端只出现自由电荷，因为由极化而产生的极化电荷的效果已包括在 P 中，所以也就包括在 D 中了，这 样大大有利于电介质中电场的分析和计算。应用高斯散度定理于(1—37)式，则得 这是高斯定律的微分形式。它表明静电场中任一点上电通密度 D 的散度等于该点的自由电荷体密度。(1—3 6)式称为电介质的构成方程。对于各向同性的电介质，将(1—33)式代入，得 ， 引入 则 此式称为各向同性电介质的构成方程。 称为电介质的 介电常数而 称为相对介电常数，无量纲。 高斯定律反映了静电场的一个基本性质。在场的分布具有某种对称性(常见的有面对称、柱对称和球对 称)情况下，应用它来求解电场是很直接的。 三 静电场基本方程 以下两组基本方程 （1－41） （1－42）
和 t·D=p (1-43) VX E=0 (1-44) 微分形式的静电场基本方程， 高斯定律的积分形式说明，电通I量]密度D的闭合面积分等于面内所包围的总自由电荷，它表征静电 场的一个基本性质。静电场的环路特性(1一42)说明电场强度正的环路线积分恒等于零，即静电场是一个 守恒场。高斯定律的微分形式式表明，静电场是有散场：(1一4)式是静电场环路特性的微分形式，它表 明静电场是无旋场。从物理概念上来说，积分形式描述的是每一条回路和每一个闭合面上场量的整体情况 微分形式则描述了各点及其邻域的场量情况，也即反映了从一点到另一点场量的变化，从而可以更深刻更 精细地了解场的分布。从数学角度来说，微分形式便于进行分析和计算。 四分界面上的衡接条件 在静电场中，空间往往分区域分布着两种或多种媒质（导体和电介质）。对于两种互相密接的媒质，分 界面两侧的静电场之间存在着一定关系，称为静电场中不同媒质分界面上的衔接条件，它反映了从一种媒 质过泼到另一种煤质时分界面上电场的变化规律。 由于分界面两侧的物性发生突变，经过分界面时，场量也可能随之突变 Di.-Di.= 其中O是分界面上分布的自由电荷面密度， 6器-器=。 (1-50) 对于导体与电介质的分界面，衔接条件也可以用电位函数表示成 =段=常数 (1-51) 0=-6:器 (1-52） 式中，第一种媒质为导体，n为法线方向，且由导体指向电介质 五电杨边值问题
和 （1－43） （1－44） 微分形式的静电场基本方程。 高斯定律的积分形式说明，电通[量]密度 D 的闭合面积分等于面内所包围的总自由电荷，它表征静电 场的一个基本性质。静电场的环路特性（1－42）说明电场强度正的环路线积分恒等于零，即静电场是一个 守恒场。高斯定律的微分形式式表明，静电场是有散场；（1－44）式是静电场环路特性的微分形式，它表 明静电场是无旋场。从物理概念上来说，积分形式描述的是每一条回路和每一个闭合面上场量的整体情况； 微分形式则描述了各点及其邻域的场量情况，也即反映了从一点到另一点场量的变化，从而可以更深刻更 精细地了解场的分布。从数学角度来说，微分形式便于进行分析和计算。 四 分界面上的衔接条件 在静电场中，空间往往分区域分布着两种或多种媒质(导体和电介质)。对于两种互相密接的媒质，分 界面两侧的静电场之间存在着一定关系，称为静电场中不同媒质分界面上的衔接条件。它反映了从一种媒 质过渡到另一种媒质时分界面上电场的变化规律。 由于分界面两侧的物性发生突变，经过分界面时，场量也可能随之突变， 其中 是分界面上分布的自由电荷面密度。 （1－50） 对于导体与电介质的分界面，衔接条件也可以用电位函数表示成 （1－51） （1－52） 式中，第一种媒质为导体，n 为法线方向，且由导体指向电介质。 五 电场边值问题
基于库仑定律与叠加原理的叠加积分或高斯定律计算电场的方法，只能适用于已知的电荷布十分简单 的问题。实际上在电工中经常话到的是这样一类问瑟：给定空间某一区域内的电荷分布（可以是零，同时 给定该区域边界上的电位或电场（即边值，或称边界条件），在这种条件下求解该区域内的电位函数或电场 强度分布。 1泊松方程和拉普拉斯方程 在高斯定律，D=P中，代入D=eE和E=-PF的关系，可得P·e(-P)=P 对于均匀电介质，€为常数，则得 g=-p心 (1-53) 这就是电位甲的泊松方程。在自由电荷体密度P=U的区域内，(1一53)式变为 华0 (1-54) 这就是电位甲的拉普拉斯方程。泊松方程和拉普拉断方程表达了场中各点电位的空间变化与该点自由电荷 体密度之问的普遍关系是电位函数应当满足的微分方程。所有静电场问题的求解都可归结为在一定条件 下寻求泊松方程或拉普拉斯方程的解的过程。 2静电场边值问避 寻求泊松方程或拉普拉斯方程的解答是一个积分过程，在所得的通解中，必然出现一些未确定的常数 这说明只由泊松方程或拉普拉斯方程不能唯一地确定静电场的解，还必须利用静电场的边界条件及电位的 性质来确定通解中的常数。也就是说，静电问趣变为求满足给定边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解 的问恶，称之为静电场的边值问题。 在场域的边界面S上给定边界条件的方式有以下几种类型： (1)己知场域边界面S上各点的电位值，即给定： 9s=1() (1-55) 称为第一类边界条件。这类问题称为第一类边值问题， (2)已知场城边界而S上各点的电位法向导数值，即给定
基于库仑定律与叠加原理的叠加积分或高斯定律计算电场的方法，只能适用于已知的电荷布十分简单 的问题。实际上在电工中经常遇到的是这样一类问题：给定空间某一区域内的电荷分布(可以是零)，同时 给定该区域边界上的电位或电场(即边值，或称边界条件)，在这种条件下求解该区域内的电位函数或电场 强度分布。 1 泊松方程和拉普拉斯方程 在高斯定律 中，代入 和 的关系，可得 对于均匀电介质， 为常数，则得 （1－53） 这就是电位甲的泊松方程。在自由电荷体密度 的区域内，（1－53）式变为 （1－54） 这就是电位甲的拉普拉斯方程。泊松方程和拉普拉斯方程表达了场中各点电位的空间变化与该点自由电荷 体密度之间的普遍关系，是电位函数应当满足的微分方程。所有静电场问题的求解都可归结为在一定条件 下寻求泊松方程或拉普拉斯方程的解的过程。 2 静电场边值问题 寻求泊松方程或拉普拉斯方程的解答是一个积分过程，在所得的通解中，必然出现一些未确定的常数， 这说明只由泊松方程或拉普拉斯方程不能唯一地确定静电场的解，还必须利用静电场的边界条件及电位的 性质来确定通解中的常数。也就是说，静电问题变为求满足给定边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解 的问题，称之为静电场的边值问题。 在场域的边界面 S 上给定边界条件的方式有以下几种类型： （1）已知场域边界面 S 上各点的电位值，即给定： （1－55） 称为第一类边界条件。这类问题称为第一类边值问题。 （2）已知场域边界面 S 上各点的电位法向导数值，即给定：