第二章恒定电场 导言 本章主要讨论导电媒质中的恒定电场（通常又称恒定电流场）。 首先介绍各种形式的电流密度及其相应的元电流段。随后讨论欧姆定律的微 分形式、焦耳定律的微分形式及维持恒定电场所需的电源。 电场强度E和电流密度丁是恒定电场的主要场量。在分别研究E的回路线积 分和丁的闭合面积分之后，得出导电媒质中恒定电场（电源外）的基本方程 根据上列积分形式的基本方程，导得不同媒质分界面上的衔接条件。在微分 形式基本方程的基础上，导得拉普拉斯方程。 把无电荷分布区域的静电场与电源外导电媒质中的恒定电场相对比，两者有 相似的关系，从而引出静电比拟。 最后介绍电导与接地电阻、跨步电压和危险区半径的计算。 一导体媒质中的电流 在静电场中，导体内电场强度为零，导体内部也没有电荷的运动：若在外电场的作用下，自由电荷定向运 动则形成电流。在导电媒质（如导体、电解液等）中，电荷的运动形成的电流称为传导电流。 单位时间内通过某一横截面的电荷量，称为电流强度（简称电流），记作1 1 (2-1) 它只描述了每秒通过某一面积的电荷总量。从场的观点来看电流强度是一个通量概念的量，它没有说明 电荷在导体截面上每一点流动的情况。为了描述导体中每一点处电荷运动的情况，引入电流密度这个物理 量。 1电流密度和元电流 电流按分布的情况可分为体电流、面电流、线电流。电荷在空间某一体积内流动形成体电流。在某个面
第二章 恒定电场 导 言 本章主要讨论导电媒质中的恒定电场(通常又称恒定电流场)。 首先介绍各种形式的电流密度及其相应的元电流段。随后讨论欧姆定律的微 分形式、焦耳定律的微分形式及维持恒定电场所需的电源。 电场强度 E 和电流密度 J 是恒定电场的主要场量。在分别研究 E 的回路线积 分和 J 的闭合面积分之后，得出导电媒质中恒定电场(电源外)的基本方程 根据上列积分形式的基本方程，导得不同媒质分界面上的衔接条件。在微分 形式基本方程 的基础上，导得拉普拉斯方程。 把无电荷分布区域的静电场与电源外导电媒质中的恒定电场相对比，两者有 相似的关系，从而引出静电比拟。 最后介绍电导与接地电阻、跨步电压和危险区半径的计算。 一 导体媒质中的电流 在静电场中，导体内电场强度为零，导体内部也没有电荷的运动；若在外电场的作用下，自由电荷定向运 动则形成电流。在导电媒质(如导体、电解液等)中，电荷的运动形成的电流称为传导电流。 单位时间内通过某一横截面的电荷量，称为电流强度(简称电流)，记作 I （2－1） 它只描述了每秒通过某一面积的电荷总量。从场的观点来看电流强度是一个通量概念的量，它没有说明 电荷在导体截面上每一点流动的情况。为了描述导体中每一点处电荷运动的情况，引入电流密度这个物理 量。 1 电流密度和元电流 电流按分布的情况可分为体电流、面电流、线电流。电荷在空间某一体积内流动形成体电流。在某个面
积上流动形成面电流。当电荷沿一根截面积等于零的几何曲线流动时，形成线电流。 当按体密度分布的电荷，以速度D,作匀速运动时，形成电流密度矢量J,且表示为 卡N (2-2) 流过任意面积S的电流为 (2-3) 若按面密度口和线密度，分布的电荷，以速度。运动（设面电荷在其所分布的面上运动，线电荷沿其所分 布的线上运动武分别形成电流线密度矢量不电速作。其作位分别为A/安/米布AM安。 其中电流线密度描述在该面上某点处，通过垂直于电流方向单位宽度的电流。由此可知，通过该面上某点 元线段dl的电流为 dl=(K·en)dl (2-4) (2-4)式中 黑：为垂直于元线段 !的方向上的单位矢量。这样，流过任意线段1的电流为 w (2-5) 由此可见，电流密度的概念应用得更为广泛。一般把电流密度矢量在各处都不随时间而变化的电流称为 恒定电流。 如有元电荷g以速度v运动，则d?这一个量的单位为C·m/s=A·m,称之为元电流段。因此。 可以得到作不同分布的元电荷运动后形成的元电流段元电流段有下列不同形式： 0 (2-6) 2欧姆定律的徽分形式 要在导电媒质中维持恒定电流，必须存在一个恒定电场。因此，电流密度矢量与电场强度矢量一定存在 某种函数关系
积上流动形成面电流。当电荷沿一根截面积等于零的几何曲线流动时，形成线电流。 当按体密度 ρ 分布的电荷，以速度 υ，作匀速运动时，形成电流密度矢量 J，且表示为 （2－2） 流过任意面积 S 的电流为 （2－3） 若按面密度口和线密度，分布的电荷，以速度。运动(设面电荷在其所分布的面上运动，线电荷沿其所分 布的线上运动)，就分别形成电流线密度矢量 和线电流 。其单位分别为 A／m(安／米)和 A(安)。 其中电流线密度描述在该面上某点处，通过垂直于电流方向单位宽度的电流。由此可知，通过该面上某点 元线段 的电流为 （2－4） （2-4）式中 为垂直于元线段 的方向上的单位矢量。这样，流过任意线段 l 的电流为 （2－5） 由此可见，电流密度的概念应用得更为广泛。一般把电流密度矢量在各处都不随时间而变化的电流称为 恒定电流。 如有元电荷 以速度 v 运动，则 这一个量的单位为 ，称之为元电流段。因此， 可以得到作不同分布的元电荷运动后形成的元电流段元电流段有下列不同形式： （2－6） 2 欧姆定律的微分形式 要在导电媒质中维持恒定电流，必须存在一个恒定电场。因此，电流密度矢量与电场强度矢量一定存在 某种函数关系
E (2-7) 3焦耳定律的徽分形式 自由电荷在导电媒质内移动时，不可避免地会与其它质点发生碰撞。如金属导体中自由电子在电场力作 用下定向运动时，会不新与原子品格发生碰撞，将动能转变为原子的热振动，造成能量损耗，因此，如界 要在导体内维持恒定电流，必须持续地对电荷提供能量，这些能量最终都转化为热能。 小用 (2-8) (2一8)式即焦耳定律的微分形式。 二电源电动势与局外场强 焦耳定律说明恒定电流通过导电煤质，将电能转化为热能而损耗。所以，要在导电媒质中维持一恒定电 场从而维持一恒定电流，必须将导电煤质与电源相接，由电源不断地提供维持电流流动所需的能量 1,电源电动势与局外场强 电源是一种能将其它形式的能量（机械能、化学能、热能等）转换成电能的装置，它能把电源内导体原 子或分子中的正负电荷分开，使正负电极之间的电压维持恒定，从而使与它们相联结的（电源外）导体之间 的电压也恒定，并在其周国维持一恒定电场。电源中能将正负电荷分离开来的力厂，称为局外力，把作用 于单位正电荷上的局外力了。/9设想为一等效场强，称为局外场强，并用E。表示。其方向由电源的负 极指向正极。这样，从场的角度，可用局外场强来描述电源的特性，电源的电动势（与局外场强的关系为 6-E.di (2-9) 在电源内部，除了由两极上电荷所引起的库仑电场强度￡以 外，还有局外场强E。,因此其中的合成场强应为两者之和即 ￡+B,。应该注意，E与￡，是反向的，前者由正极指向负极，后 者则由负极指向正极，如图2-1所示。因此，通过含源导电媒质 的电流为
（2－7） 3 焦耳定律的微分形式 自由电荷在导电媒质内移动时，不可避免地会与其它质点发生碰撞。如金属导体中自由电子在电场力作 用下定向运动时，会不断与原子晶格发生碰撞，将动能转变为原子的热振动，造成能量损耗。因此，如果 要在导体内维持恒定电流，必须持续地对电荷提供能量，这些能量最终都转化为热能。 （2－8） （2－8）式即焦耳定律的微分形式。 二 电源电动势与局外场强 焦耳定律说明恒定电流通过导电媒质，将电能转化为热能而损耗。所以，要在导电媒质中维持一恒定电 场从而维持一恒定电流，必须将导电媒质与电源相接，由电源不断地提供维持电流流动所需的能量 1.电源电动势与局外场强 电源是一种能将其它形式的能量(机械能、化学能、热能等)转换成电能的装置，它能把电源内导体原 子或分子中的正负电荷分开，使正负电极之间的电压维持恒定，从而使与它们相联结的(电源外)导体之间 的电压也恒定，并在其周围维持一恒定电场。电源中能将正负电荷分离开来的力 称为局外力，把作用 于单位正电荷上的局外力 设想为一等效场强，称为局外场强，并用 。表示。其方向由电源的负 极指向正极。这样，从场的角度，可用局外场强来描述电源的特性，电源的电动势 与局外场强的关系为 （2－9） 在电源内部，除了由两极上电荷所引起的库仑电场强度 E 以 外，还有局外场强 ，因此其中的合成场强应为两者之和即 。应该注意， 与 是反向的，前者由正极指向负极，后 者则由负极指向正极，如图 2-1 所示。因此，通过含源导电媒质 的电流为
J=(E+E,) (2-10) 图21电源 在电源以外区域中，则只存在库仑电场。产生库仑场强￡的不是静止电荷， 而是处于动态平衡下的恒定电荷。 2恒定电场 对于恒定电场应分别考虑两种情况：一种是导电媒质中的恒定电场。另一种 是通有恒定电流的导体周围电介质或空气中的恒定电场。由于电介质中的恒定电 场是由其分布不随时间变化的导体上电荷引起的，因此这类电场也是保守场，可 以用电位函数表征其特性，用解静电场问题相同的方法处理。虽然严格地说，导 体中如通有电流，导体就不是等位体，它的表面也就不是等位面。可是在很多实 际问题中，紧挨导体表面的电介质内电场强度E的切线分量，较其法线分量小 得多，往往可以忽略不计。这样一来导体表面上的边界条件就可认为与静电场中 的相同。因此，在研究有恒定电流通过的导体周围电介质中的恒定电场时，就可 以应用相应的静电场问题的解答。所以，这里将着重讨论电源以外导电媒质内的 恒定电场。 三恒定电场基本方程·分界面上的衔接条件 1恒定电场的基本方程 导电媒质（电源外）中积分形式的恒定电场基本方程是 ∮J·ds=0 $E·dl=0 上两式可以写成 J=0 (2-110
图 2-1 电源 （2－10） 在电源以外区域中，则只存在库仑电场。产生库仑场强 的不是静止电荷， 而是处于动态平衡下的恒定电荷。 2 恒定电场 对于恒定电场应分别考虑两种情况：一种是导电媒质中的恒定电场。另一种 是通有恒定电流的导体周围电介质或空气中的恒定电场。由于电介质中的恒定电 场是由其分布不随时间变化的导体上电荷引起的，因此这类电场也是保守场，可 以用电位函数表征其特性，用解静电场问题相同的方法处理。虽然严格地说，导 体中如通有电流，导体就不是等位体，它的表面也就不是等位面。可是在很多实 际问题中，紧挨导体表面的电介质内电场强度 的切线分量，较其法线分量小 得多，往往可以忽略不计。这样一来导体表面上的边界条件就可认为与静电场中 的相同。因此，在研究有恒定电流通过的导体周围电介质中的恒定电场时，就可 以应用相应的静电场问题的解答。所以，这里将着重讨论电源以外导电媒质内的 恒定电场。 三 恒定电场基本方程·分界面上的衔接条件 1 恒定电场的基本方程 导电媒质(电源外)中积分形式的恒定电场基本方程是 上两式可以写成 （2－11）
V×E=0 (2-12) 这是导电媒质（电源外）中微分形式的恒定电场基本方程。它说明电场强度E 的旋度等于零，恒定电场仍为一个保守场。同时说明J线是无头无尾的闭合曲 线，因此恒定电流只能在闭合电路中流动。电路中只要有一处断开，电流就不能 存在。电流密度J与电场强度E间的关系为 J=yE (2-13) 2分界面上的衡接条件 在两种不同导电媒质分界面上，由于物性发生突变，场量也会随之突变，故必须补充适合于分界面上 的衔接条件。 Eu=E2 (2-14) Ji=J2n (2-15) 在两种不同导电媒质的分界面处，设区域1的电导率为Y,介电常数为1， 区域2的电导率为Y2,介电常数为2，则电位移和电流密度的法线分量的衔接 条件由此得出，分界面上的电荷面密度为 (2-16) a=(e-e别E=(e-6E 3恒定电场的边值问题 在恒定电场中，电场强度￡与标量电位函数P的关系仍然是 E=-V@ (2-17) 对于均匀媒质，应有
（2－12） 这是导电媒质(电源外)中微分形式的恒定电场基本方程。它说明电场强度 的旋度等于零，恒定电场仍为一个保守场。同时说明 线是无头无尾的闭合曲 线，因此恒定电流只能在闭合电路中流动。电路中只要有一处断开，电流就不能 存在。电流密度 与电场强度 间的关系为 （2－13） 2 分界面上的衔接条件 在两种不同导电媒质分界面上，由于物性发生突变，场量也会随之突变，故必须补充适合于分界面上 的衔接条件。 （2－14） （2－15） 在两种不同导电媒质的分界面处，设区域 1 的电导率为 ，介电常数为 ， 区域 2 的电导率为 ，介电常数为 ，则电位移和电流密度的法线分量的衔接 条件由此得出，分界面上的电荷面密度为 （2－16） 3 恒定电场的边值问题 在恒定电场中，电场强度 与标量电位函数 的关系仍然是 （2－17） 对于均匀媒质，应有