第四章时变电磁场 导自 ,在时变电磁场中，电场和磁场不仅是空问坐标的函数，还是时间的函数。它们不再彼此独立，而是构成统一的电磁场的两个方面。变化的电场会产 果关系。麦克斯书用最简洁的数学公式一电磁场基本方程组高度概括了电磁场的基本特性，成为研究电磁现象的理论基础。 引出感应电场的概念，然后介绍麦克斯韦关于位移电流的假设以及表征时变电磁场特性的电磁场基本方程组，并由此导出时变电磁场的能量守恒定 了使于计算电磁场，引入动态位函数及其方程，最后对正弦电磁场展开讨论。 一电藏感应定律和全电流定律 电磁场中两个最基本的定律一一电磁感应定律和全电流定律，它们反映了时变的电场及磁场之间相互依存和转化 存在着如下的普遍规律：当穿过一闭合导体回路的磁通（不论由于什么原因）发生变化时，在导体回路中就会出现电 称为感应电流。闭合回路磁通变化的原因不外有下面三种： 而闭合回路的任一部分对媒质没有相对运动。这样产生的感应电动势叫做感生电动势。有 用这一原理制成的，所以也称这一感应电动势为变压器电动势。 化（恒定磁场）而闭合回路的整体或局部相对于媒质在运动。这样产生的感应电动势叫做动生电动势。有 工作原理，故称之为发电机电动势。 且闭合回路也有运动。这时的感应电动势是感生电动势和动生电动势的叠加。即 现象时，感应电动势是比感应电流更为本质的物理量。感应电动势的大小只与穿过回路磁通随时间的变化率有关
第四章 时变电磁场 导言 本章讨论随时间变化的电磁场。在时变电磁场中，电场和磁场不仅是空间坐标的函数，还是时间的函数。它们不再彼此独立，而是构成统一的电磁场的两个方面。变化的电场会产生磁场；另一方面，变化的磁场 也会产生电场。它们两者互为因果关系。麦克斯韦用最简洁的数学公式——电磁场基本方程组高度概括了电磁场的基本特性，成为研究电磁现象的理论基础。 本章首先从法拉弟电磁感应定律引出感应电场的概念，然后介绍麦克斯韦关于位移电流的假设以及表征时变电磁场特性的电磁场基本方程组，并由此导出时变电磁场的能量守恒定律——坡印亭定理，同时介绍表 征功率流密度的坡印亭矢量。为了便于计算电磁场，引入动态位函数及其方程，最后对正弦电磁场展开讨论。 一 电磁感应定律和全电流定律 本节将介绍时变电磁场中两个最基本的定律——电磁感应定律和全电流定律，它们反映了时变的电场及磁场之间相互依存和转化的关系。 1 电磁感应定律 大量的实验证实存在着如下的普遍规律：当穿过一闭合导体回路的磁通(不论由于什么原因)发生变化时，在导体回路中就会出现电流，这种现象称为电磁 感应现象，出现的电流称为感应电流。闭合回路磁通变化的原因不外有下面三种： (1)B 随时间变化而闭合回路的任一部分对媒质没有相对运动。这样产生的感应电动势叫做感生电动势。有 变压器就是利用这一原理制成的，所以也称这一感应电动势为变压器电动势。 (2)B 不随时间变化(恒定磁场)而闭合回路的整体或局部相对于媒质在运动。这样产生的感应电动势叫做动生电动势。有 这正是发电机的工作原理，故称之为发电机电动势。 (3)B 随时间变化且闭合回路也有运动。这时的感应电动势是感生电动势和动生电动势的叠加。即 在理解电磁感应现象时，感应电动势是比感应电流更为本质的物理量。感应电动势的大小只与穿过回路磁通随时间的变化率有关，而与构成回路的材料的
应定律可以推广到任意媒质内的假想回路中。 除了电荷产生电场外，变化的磁场也总要在空间产生电场，由变化磁场产生的电场，称为感应电场，记作E。变 电流就是由这种感应电场引起的。 弟建立的电磁感应定律是对一个回路而言的，而上述麦克斯韦的假设并无此限制，即认为不论空间有无导体，有无 假设为无数实验所证实而被公认为是反映客观规律的理论。 回路中的感应电动势e应为 场与变化磁场的定量关系式。它表明，感应电场的环量不等于零，与静电场不同，感应电场是非保守场，它的力 称为涡旋电场。 间中既存在电荷产生的电场也存在感应电场。麦克斯韦将上述关系推广，对任何电磁场都有 理，可得对应上式的微分形式 律的微分形式。在静止媒质中，则有 关系作为电磁场的基本方程之一。它揭示了变化磁场产生电场这一重要的物理本质，从而把电场与磁场更紧密地
特性无关。因此，电磁感应定律可以推广到任意媒质内的假想回路中。 2 感应电场(涡旋电场) 麦克斯韦假设：除了电荷产生电场外，变化的磁场也总要在空间产生电场，由变化磁场产生的电场，称为感应电场，记作 Ei。变化的磁场在固定不动的 导体回路中产生的感应电流就是由这种感应电场引起的。 应该注意，法拉弟建立的电磁感应定律是对一个回路而言的，而上述麦克斯韦的假设并无此限制，即认为不论空间有无导体，有无回路，不论是在真空中 或媒质中它都适用。这一假设为无数实验所证实而被公认为是反映客观规律的理论。 由电动势的定义可知，回路中的感应电动势 e 应为 由电磁感应定律 上式就是感应电场与变化磁场的定量关系式。它表明，感应电场的环量不等于零，与静电场不同，感应电场是非保守场，它的力线是一些无头无尾的闭合 曲线，所以感应电场又称为涡旋电场。 一般情况下，空间中既存在电荷产生的电场也存在感应电场。麦克斯韦将上述关系推广，对任何电磁场都有 这里 E 表示空间的总场强。 应用斯托克斯定理，可得对应上式的微分形式 这是电磁感应定律的微分形式。在静止媒质中，则有 麦克斯韦将上述关系作为电磁场的基本方程之一。它揭示了变化磁场产生电场这一重要的物理本质，从而把电场与磁场更紧密地联系在一起。 3 全电流定律
揭开了电场与磁场联系的一个方面一一变化的磁场要产生电场。在研究从库仑到法拉弟等前人成果的基础上，深有 斯韦，为解决把安培环路定律应用到非恒定电流电路时所遇到的矛盾，又提出了“位移电流”的假说一一随时间变 联系的另一个方面。麦克斯韦对电磁场理论的重大贡献的核心是位移电流的假说。 兹场对任意闭合曲线的积分取决于通过该路径所包围面积的全电流。 它相应的微分形式是 一个新的物理内容：不但传导电流J能够激发磁场，而且位移电流J也以相同的方式激发磁场。位移电流这一所 也能激发磁场这一物理实质。 概念，任何随时间而变化的电场，都要在邻近空间激发磁场。一般说来，随时间变化的电场所激发的磁场也随时间 也充满变化的磁场。 概念，任何随时间而变化的磁场，都要在邻近空间激发感应电场，一般说来，随时间变化的磁场所激发的电场也 c满变化的电场。 电场和磁场，永远互相联系着，形成了统一的电磁场。在此基础上麦克斯韦又预言了电磁波（变化电磁场在空间 速一样。这些预言于1888年为赫兹用实验得到证实。从此，电磁感应定律和全电流定律便被确认为反映普遍的电 二电藏场蒸本方程组·分界面上的衡接条件 组又称为麦克斯韦方程组，其积分形式为
感应电场的概念揭开了电场与磁场联系的一个方面——变化的磁场要产生电场。在研究从库仑到法拉弟等前人成果的基础上，深信电场、磁场有着密切关 系且具有对称性的麦克斯韦，为解决把安培环路定律应用到非恒定电流电路时所遇到的矛盾，又提出了“位移电流”的假说——随时间变化的电场将激发磁场， 从而揭示了电场与磁场联系的另一个方面。麦克斯韦对电磁场理论的重大贡献的核心是位移电流的假说。 麦克斯韦认为,磁场对任意闭合曲线的积分取决于通过该路径所包围面积的全电流。 上式称为全电流定律。与它相应的微分形式是 以上两式揭示了一个新的物理内容：不但传导电流 J 能够激发磁场，而且位移电流 Jd 也以相同的方式激发磁场。位移电流这一所谓形式上的概念反映了 变化的电场与电流一样，也能激发磁场这一物理实质。 4 电磁场 按照位移电流的概念，任何随时间而变化的电场，都要在邻近空间激发磁场。一般说来，随时间变化的电场所激发的磁场也随时间变化。概括地讲：充满 变化电场的空间，同时也充满变化的磁场。 按照感应电场的概念，任何随时间而变化的磁场，都要在邻近空间激发感应电场，一般说来，随时间变化的磁场所激发的电场也随时间变化。因而，充满 变化磁场的空间，同时充满变化的电场。 这两种变化的场，电场和磁场，永远互相联系着，形成了统一的电磁场。在此基础上麦克斯韦又预言了电磁波(变化电磁场在空间的传播)的存在，且算出 电磁波的传播速度与光速一样。这些预言于 1888 年为赫兹用实验得到证实。从此，电磁感应定律和全电流定律便被确认为反映普遍的电磁规律的客观真理。 二 电磁场基本方程组·分界面上的衔接条件 1 .电磁场基本方程组 电磁场基本方程组又称为麦克斯韦方程组，其积分形式为 (4—16)
(4-17） (4一18) (4-19 电流定律，亦称为麦克斯韦第一方程。它表明不仅传导电流能产生磁场，而且变化的电场也能产生磁场。(4一17)式 表明变化的磁场也会产生电场。(4一18)式是磁通连续性原理，说明磁力线是无头无尾的闭合曲线。 化的电场和变化的磁场相互激发、相互联系形成统一的电磁场。 适场基本方程组的微分形式为 (4-22) (4-23) 组全面总结了电磁场的规律，是宏观电磁场理论的基础。它在电磁场理论中的地位与牛顿定律在经典力学中的地《 深决各种宏观电磁场问题。例如在具体问愿中给出电磁场量的初始条件与边界条件，则求解方程组可得E(x,y,乙，t 时，从电磁场基本方程组根据初始条件以及边界条件就可以完全决定电磁场的变化。这就是电磁场中的唯一性定理 媒质，e,和μ，分别表示第一种媒质的介电常数和磁导率，飞和μ分别表示第二种媒质的介电常数和磁导率。 B1。=B D-D=o
(4 一 17) (4 一 18) (4—19) (4—16)式是全电流定律，亦称为麦克斯韦第一方程。它表明不仅传导电流能产生磁场，而且变化的电场也能产生磁场。(4—17)式是推广的电磁感应定律， 称为麦克斯韦第二方程，表明变化的磁场也会产生电场。(4—18)式是磁通连续性原理，说明磁力线是无头无尾的闭合曲线。 这组方程表明变化的电场和变化的磁场相互激发、相互联系形成统一的电磁场。 容易得到，电磁场基本方程组的微分形式为 (4—20) (4—21) (4—22) (4—23) 电磁场基本方程组全面总结了电磁场的规律，是宏观电磁场理论的基础。它在电磁场理论中的地位与牛顿定律在经典力学中的地位相仿。利用这组方程加 上辅助方程原则上可以解决各种宏观电磁场问题。例如在具体问题中给出电磁场量的初始条件与边界条件，则求解方程组可得 E(x,y,z,t)和 B(x,y,z,t)。这就是 说，当电荷、电流给定时，从电磁场基本方程组根据初始条件以及边界条件就可以完全决定电磁场的变化。这就是电磁场中的唯一性定理。 2 分界面上的衔接条件 考虑两种不同的媒质，ε1和 μ1分别表示第一种媒质的介电常数和磁导率，ε2和 μ2分别表示第二种媒质的介电常数和磁导率。分界面上的衔接条件是 B1n =B2n (4—27) D2n－D1n=σ (4—28)
H.-Hw=K Eu=Ea 由电荷面密度，K为传导电流的线密度。 条件 往往把某些导体看成理想导体以简化问题的分析。由于理想导体的电导率Y一>∞，所以它内部的电场强度为零 磁场也为零（不考虑与时间无关的常量）。理想导体中的电流可以看成是沿着导体表面流动而形成面电流，同时表 理想导体（设为媒质1）与电介质（设为媒质2）的分界面上，衔接条件为 H2=K B2=0 E2=0 Den= (4-33) 表面上的边界条件。它表明：在理想导体表面外侧的附近介质中，磁力线平行于其表面，电力线则与其表面相垂」 三动态位及其积分解 场量应满足电磁场基本方程组。根据方程(4-22)试，可以引入一个矢量函数A,使 7x8+-0 数，它满足 -Vo
H1t－H1t=K (4—29) E1t=E2t (4—30) 式中 σ 为分界面上的自由电荷面密度，K 为传导电流的线密度。 3 理想导体表面上的边界条件 在实际问题中，往往把某些导体看成理想导体以简化问题的分析。由于理想导体的电导率 γ 一>∞，所以它内部的电场强度为零。根据方程(4—21)式， 可知理想导体内部的时变磁场也为零(不考虑与时间无关的常量)。理想导体中的电流可以看成是沿着导体表面流动而形成面电流，同时表面也会有自由电荷的积 累而形成面电荷，因而在理想导体(设为媒质 1)与电介质(设为媒质 2)的分界面上，衔接条件为 H2t=K B2n =0 E2t =0 D2n = σ (4—33) 也称为理想导体表面上的边界条件。它表明：在理想导体表面外侧的附近介质中，磁力线平行于其表面，电力线则与其表面相垂直。 三 动态位及其积分解 1 动态位 在时变电磁场中，空间各点的场量应满足电磁场基本方程组。根据方程(4-22)式，可以引入一个矢量函数 A，使 将上式代人方程(4-21)式，可得 上述结果表明，存在一个标量函数 φ，它满足