别=6a (1-56) 称为第二类边界条件，这类问题称为第二类边值问愿。 (3)已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性组合的值，即给定： (+l=6 (1-57) 称为第三类边界条件。这类问题称为第三类边值问愿。 因此，静电场边值问题就是在给定第一类、第二类或第三类边界条件下，求电位函数甲的泊松方程或 拉普拉斯方程定解的问愿。 如果场域仲展到无限远处，则必须提出所谓无限远处的边界条件。对于电荷分布在有限区域的情况， 则在无限远处电位为有限值，即 m9=有限值 (1-58) 称为自然边界条件。 另外，当边值问题所定义的整个场域中电介质并不是完全均匀的，但能分成几个均匀的电介质子区域 时，按各电介质子区域分别写出泊松方程或拉普拉斯方程。作为定解条件，还必领相应地引入不同煤质分 界面上的衔接条件。 大唯一性定理 静电场的唯一性定理表明，凡满足下述条件的电位函数9，是给定静电场的唯一解： (1)在场域V中满足电位微分方程？■-p(或单■0。对于分区均匀的场域V,应满足每个 分区场域中的方程： (2)在不同介质的分界面上，符合分界面上的衔接条件： (3)在场域边界面S上，满足给定的边界条件。上列各项可简述为： 在静电场中凡满足电位微分方程和给定边界条件的解9，是给定静电场的唯一解，称为静电场的唯一 性定理
（1－56） 称为第二类边界条件。这类问题称为第二类边值问题。 （3）已知场域边界面 S 上各点电位和电位法向导数的线性组合的值，即给定： （1－57） 称为第三类边界条件。这类问题称为第三类边值问题。 因此，静电场边值问题就是在给定第一类、第二类或第三类边界条件下，求电位函数甲的泊松方程或 拉普拉斯方程定解的问题。 如果场域伸展到无限远处，则必须提出所谓无限远处的边界条件。对于电荷分布在有限区域的情况， 则在无限远处电位为有限值，即 （1－58） 称为自然边界条件。 另外，当边值问题所定义的整个场域中电介质并不是完全均匀的，但能分成几个均匀的电介质子区域 时，按各电介质子区域分别写出泊松方程或拉普拉斯方程。作为定解条件，还必须相应地引入不同媒质分 界面上的衔接条件 。 六 唯一性定理 静电场的唯一性定理表明，凡满足下述条件的电位函数 ，是给定静电场的唯一解： （1）在场域 V 中满足电位微分方程 。对于分区均匀的场域 V，应满足每个 分区场域中的方程； （2）在不同介质的分界面上，符合分界面上的衔接条件； （3）在场域边界面 S 上，满足给定的边界条件。上列各项可简述为： 在静电场中凡满足电位微分方程和给定边界条件的解 ，是给定静电场的唯一解，称为静电场的唯一 性定理
唯一性定理对求静电问题的解具有十分重要的意义，它指出了静电场具有唯一解的充要条件，且可用 来判定得到的解的正确性。据此，可以尝试任何一种能找到的最方便的方法求解某一问题，只要这个解满 足所有给定条件，那么这个解就是正确的，任何另一种方法求得的同一问题的解必然是与它完全相同的。 针对不同情况，人们已找到了多种求解静电问题的方法，如镜像法和电轴法、分离变量法等。 七分离变量法 当场域的边界面能与某正交坐标系的坐标面相重合时，分离变量法将是一种有效的求解方法。它也是 解边值问题的一种最基本和最经典的方法。 分高变量法的基本思想是：把电位函数用两个或三个仅含一个坐标变量的函数的乘积表示，代人偏 微分方程后，借助“分离”常数使原来的偏微分方程转化为几个常微分方程，然后分别求解这些常微分方程 并以给定的边界条件确定其中待定常数和函数，最终得到电位函数解。所得的解往往具有傅里叶级数形式， 因此又称傅里叶法。 1直角坐标系的分离变量法 +g=0 (1-60) 首先，给出分离变量形式的试探解即假设解答为 X (x)Y (y) ↓=-影 (1-62) 等-kx=0和影+y=0 (1-63 这样就把二维的拉普拉斯方程分离成两个常微分方程。k。称为分离常数。 当女。一0时 上面两个常微分方程的解分别为 而当 解分别为+B。和 Y (y)Coy Do 合也将是它的解 空数所有可能值的解的线性 61)式得到电位函数的一解是 (x.y)=(Aox+Bo)(Coy+Do) >(A.+B.sht(C. k+D k。y)(1-64 (.y)-(Aoz+Be)(Cox+Do) +B.sin )(C.chko D.sht.y 究如何选取分离常数，要由给定同题的具体边界条件情况而定。各待定的需
唯一性定理对求静电问题的解具有十分重要的意义，它指出了静电场具有唯一解的充要条件，且可用 来判定得到的解的正确性。据此，可以尝试任何一种能找到的最方便的方法求解某一问题，只要这个解满 足所有给定条件，那么这个解就是正确的，任何另一种方法求得的同一问题的解必然是与它完全相同的。 针对不同情况，人们已找到了多种求解静电问题的方法，如镜像法和电轴法、分离变量法等。 七 分离变量法 当场域的边界面能与某正交坐标系的坐标面相重合时，分离变量法将是一种有效的求解方法。它也是 解边值问题的一种最基本和最经典的方法。 分离变量法的基本思想是：把电位函数 用两个或三个仅含一个坐标变量的函数的乘积表示，代人偏 微分方程后，借助“分离”常数使原来的偏微分方程转化为几个常微分方程，然后分别求解这些常微分方程 并以给定的边界条件确定其中待定常数和函数，最终得到电位函数解。所得的解往往具有傅里叶级数形式， 因此又称傅里叶法。 1 直角坐标系的分离变量法
数An、Bm、Cn,和Dn,也按照给定的边界条件确定，即可获得唯一的答案。 2圆柱坐标系中的分离变量法 这里，仅介 行平面场。的拉 标系中。电位函数沿：方向没有变化时的二维平 e)=品(e}=0 只器+发都-a最- 或 船+Ps-2R=0 f8+n2Q=0 当 0时，Ro(p）=Aohe 一子是电达如时的兔积兔如组吸拉拉新方愿的报：的 +D.sin n (p.)=(Aolne+Bo)(Co+Do) +(Ao+Be-")(C.cos n+D.sin n) 上式中各常数由具体问题的给定边界条件确定 综上所述，分离变量法的具体步骤为： (1)按给定场域的形状选择适当的坐标系，使场域的边界而能与坐标面相吻合，并写出静电场边值问 题在该坐标系中的表达式。 (2)将偏微分方程通过“分离”变量转化为常微分方程。 (3)解各常微分方程并组成拉普拉斯方程的通解。通解含有分离”常数和特定常数。 (4)由边界条件确定“分离”常数和待定常数，得到问愿的唯一确定解 八有限楚分法 求解静电场边值问避，当场域边界的几何形状比较简单时，其解可以用分离变量法求得。但当边界形 状比较复杂时，一般只能求出近似解， 有限差分法的基本思想是：把场域用网格进行分割，再把拉普拉斯方程用以各网格节点处的电位作为 未知数的差分方程式来进行代换，将求拉普拉斯方程解的问题变为求联立差分方程组的解的问避
数 An 、Bn、Cn，和 Dn，也按照给定的边界条件确定，即可获得唯一的答案。 2 圆柱坐标系中的分离变量法 综上所述，分离变量法的具体步骤为： （1）按给定场域的形状选择适当的坐标系，使场域的边界面能与坐标面相吻合，并写出静电场边值问 题在该坐标系中的表达式。 （2）将偏微分方程通过“分离”变量转化为常微分方程。 （3）解各常微分方程并组成拉普拉斯方程的通解。通解含有“分离”常数和待定常数。 （4）由边界条件确定“分离”常数和待定常数，得到问题的唯一确定解。 八 有限差分法 求解静电场边值问题，当场域边界的几何形状比较简单时，其解可以用分离变量法求得。但当边界形 状比较复杂时，一般只能求出近似解。 有限差分法的基本思想是：把场域用网格进行分割，再把拉普拉斯方程用以各网格节点处的电位作为 未知数的差分方程式来进行代换，将求拉普拉斯方程解的问题变为求联立差分方程组的解的问题