.3n8北n-1((-1)例求函数项级数的收敛域。nn=1解由比值(达朗贝尔)判别法3n+3un+1nn+1limlimlim3nn-→00n-→8n-8n+lunn(1)当x<1时，原级数绝对收敛;(2)当x>1时,原级数发散
例 n x n n n 3 1 1 ( 1) = − − 解 由比值(达朗贝尔)判别法 n n n u u 1 lim + → 3 = x + = → 3 1 lim x n n n (1) 当 x 1 时, 原级数 (2) 当 x 1 时, 原级数 n x n x n n n 3 3 3 1 lim + = + → 绝对收敛; 发散. 求函数项级数的 收敛域
Z(-1)"-18n即x=1.x=-1时(3)当x=1n=18Z(-1)"-1 ,条件收敛x=1时，级数为nn=18Z发散x =-1时,级数为nn=1总之,所讨论的级数的收敛域为区间(-1,1l把函数项级数中的变量x视为参数，通过常数项级数的敛散性判别法，来判定函数项级数对哪些x值收敛，哪些x值发散，这是确定函数项级数收敛域的基本方法
级数为 , 1 ( 1) 1 1 n n n = − − 条件收敛 级数为 , 1 1 = − n n 发散 总之,所讨论的级数的收敛域为区间 把函数项级数中的变量x视为参数, 即x = 1, x = −1时， x = 1时， x = −1时， (3) 当x = 1 通过常数 项级数的敛散性判别法, 些 x 值收敛,哪些 x 值发散, 来判定函数项级数对哪 这是确定函数项级数 收敛域的基本方法. n x n n n 3 1 1 ( 1) = − − (−1,1]
二、幂级数及其收敛性1.定义如下形式的函数项级数定义8Zan(x-xo)"= a, +a(x-x,)+...+an(x-x)" +..n=0称为(x-x)的幂级数.其中a,为常数80.C当x =0时,Za,(x-xo)"→anx"n=0n=0称为x的幂级数
1.定义 0 , 当x0 = 时 , 0 n n an x = 如下形式的函数项级数 n n an (x x ) 0 0 − = 称为 的幂级数.其中 为常数. an 的幂级数. 定义 ( ) x − x0 n n an (x x ) 0 0 − = 称为 x = a0 + a1 (x − x0 ) ++ an (x − x0 ) n + 二、幂级数及其收敛性
2.收敛半径和收敛域8Z级数th回忆=1+x+x-n=0当[x<1时，收敛;当x|≥1时,发散;发散域(-80,-1]U[1,+8)收敛域(-1,1);
2.收敛半径和收敛域 = + + + = 2 0 x 1 x x n n 当| x | 1时, 当| x | 1时, 级数 (−1,1); (−,−1][1,+). 收敛; 发散; 收敛域 发散域
阿贝尔（Abel)（挪威）1802-1829定理1 (阿贝尔(Abel)定理)8Z,a,x"在x= x(x, ± 0)收敛,如果级数n=0则它在满足不等式|x<|x的一切x处绝对收敛;8Za,x"在x=x,处发散,则它在满足如果级数n=0不等式/x|>|xl的一切x处发散8证()：a,x"收敛.:. limanx" = 0n→0n=0从而数列{a,x"}有界,即有常数M>0,使得|a,x"|≤ M (n= 0,1,2,.)
证 lim 0 = 0 → n n n 收敛 a x =0 0 (1) n n an x 阿贝尔 (Abel)(挪威) 1802–1829 n n an x =0 n n an x =0 | | | | 0 x x 定理1 (阿贝尔(Abel)定理) ( 0) 在x = x0 x0 | | | | 0 x x 在x = x0处 则它在满足 不等式 绝对收敛; 发散. 收敛, 发散, 如果级数 则它在满足不等式 的一切x处 如果级数 的一切x处 从而数列 { } 0 n an x 有界, 即有常数 M > 0, 使得 0 | | ( 0,1,2, ) n n a x M n =