《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第四章 线性方程组 §4.1 线性方程组的解的判别

则线性方程组(4-1)可写为 x aj+xaz+.+x a =B (4-3) 并且A=[aa.an] A=[aa,.anB] 必要性 若方程组有解，则(4-3)知B可由a,a,cn线性 表示，于是向量组C1,C2,&n与向量组1,0，.，n,B 等价.由性质2.3.1知秩{a1,a2,an}=秩{，02,0n,}, 所以R(A①=R(A

则线性方程组（4-1）可写为 1 1 2 2 (4 3) n n x x x         1 2 1 2 n n A A                    并且 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (4 3) , , , , , , , , , , . 2.3.1 , , , , , , ( ) ( ). n n n n n R A R A                          若方程组有解，则由 知 可由 线性 表示，于是向量组 与向量组 等价由性质 知秩{ }=秩{ , }, 所以 必要性

充分性 若R(A)=R(A),则向量组a,a2,an与向量组a&,a2, ,a,B有相同的秩，所以向量组a,2,a的最大无关 组一定是a,a2,a,的最大无关组，因此B可由向量组 a,a2,2n线性表示由4-3)知方程组(4-1)有解 推论1当R(A)≠R(A)时，方程组(4-1)无解， 推论2如果方程组(4-1)有解，则它有惟一解的 充分必要条件是R(A)=R(A)=n

充分性 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) , , , , , , , , , , , , , , , , . (4 3) (4 1) . n n n n n R A R A                           若 ，则向量组 与向量组 有相同的秩，所以向量组 的最大无关 组一定是 , 的最大无关组，因此 可由向量组 线性表示由 知方程组 有解 推论1 ( ) ( ) (4 1 当R A R A   时，方程组 ) . 无解 (4 1) ( ) ( ) . 2 R A R A n    如果方程组 有解，则它有惟一解的 充分必要条件是 推论

证：（充分性） 由于方程组(4-1)有解，由(4-3)知B可由向量组 a1,2,an线性表示.又R(A)=n,故a1,2,an线性 无关，由定理2.3.2知β可由向量组a1,2,n线性表 示的表达式惟一，即方程组(4-1)有惟一解 (必要性) 由于方程组有解，假设R(A)=R(A)=r<,对 A作初等行变换化为行最简形后对应的同解方程组为

1 2 1 2 1 2 (4 1) (4 3) , , , . ( ) , , , , 2.3.2 , , , (4 1) . n n n R A n                   由于方程组 有解，由 知 可由向量组 线性表示 又 故 线性 无关，由定理 知 可由向量组 线性表 示的表达式惟一，即方程组 有惟一解 证:(充分性) (必要性) R A R A r n ( ) ( ) A 由于方程组有解，假设    ，对 作初等行变换化为行最简形后对应的同解方程组为

x =d1-C1+1-.-CnXm X2 =d2 -Czr-.-cznXn x =d,-Cm+1-.-Cmxn 若给定x+1.xn一组确定的数，由(4-4)式可得 方程组(4-1)的一组解，当x+1xm取两组不同的 数时，便得到方程组(4-1)的两组不同的解，这 与方程组(4-1)由唯一的解矛盾，故=n. 推论3如果方程组4-1)有解，且R(A)=R(A)<n,则方程 组(4-1)有无穷多解

1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 r n n r n n r r rr rn n x d c c x x d c c x x d c c x                      若给定xr+1,.,xn一组确定的数，由(4-4)式可得 方程组(4-1)的一组解，当xr+1,.,xn取两组不同的 数时，便得到方程组（4-1）的两组不同的解，这 与方程组(4-1)由唯一的解矛盾，故r=n. 组 有无穷多解. 推论3如果方程组 有解,且 则方程 (4 1) (4 1) ( ) ( ) ,   R A  R A  n

X1-2x2+3x3-x4=1 例1、判断方程组3x-x2+5x,-3x4=2是否有解. 2x1+x2+2x3-2x4=3 解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换， 1-23-11]5-31-2 3-111 A= 3-15 -32 05 0-1 L212-235-2r05-4 01 3-2「1 -2 3 -1 1 0 5 4 -1 0 0 0 0 2

例1、判断方程组 是否有解.                  2 2 2 3 3 5 3 2 2 3 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解： 对方程组的增广矩阵A实施初等行变换， 1 2 3 1 1 3 1 5 3 2 2 1 2 2 3 A                 2 1 3 1 3 ~ 2 r r r r   1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 0 5 4 0 1                3 2 ~ r r  1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 0 0 0 0 2              