4.4模n剩余类环 对任意整数和q,有(i,n)=(i+nq,n)。因此，在剩 余类i中，若一个整数同n互素，则i中所有数 都同n互素，此时就说类i与n互素。 在m个剩余类0，1，，n-1中有0()个与n互素。 定理：Zn中非零元i如果与n互素，则为可逆元， 如果不与n互素，则为零因子。 由此知道Zn的单位群是一个φ(n)阶交换群
4.4 模n剩余类环 对任意整数i和q，有(i, n)=(i+nq, n)。因此，在剩 余类 中，若一个整数同n互素，则 中所有数 都同n互素，此时就说类 与n互素。 在n个剩余类 , , …, 中有φ(n)个与n互素。 定理：Zn中非零元 如果与n互素，则为可逆元， 如果不与n互素，则为零因子。 由此知道Zn的单位群是一个φ(n)阶交换群。 i i i 0 1 n −1 i
4.4模n剩余类环 定理：若p是素数，则Zp是一个域，若n是合数， 则Z有零因子，从而不是域。 例1：Zs是域。 例2：Z6是环不是域
4.4 模n剩余类环 定理：若p是素数，则Zp是一个域，若n是合数， 则Zn有零因子，从而不是域。 例1：Z5是域。 例2：Z6是环不是域
4.4模n剩余类环 定义：如果有一个环R到F的映射φ，满足对任 意a,b∈R,有 o(a+b)=o(a)+o(b),o(ab)=o(a)o(b) 则侧称φ为R到的一个同态映射。 如果有一个R到R的同态满射，则称R与R同态， 记为R一R
4.4 模n剩余类环 定义：如果有一个环R到 的映射φ，满足对任 意a, b∈R，有 φ(a+b)=φ(a)+φ(b)，φ(ab)=φ(a)φ(b) 则称φ为R到 的一个同态映射。 如果有一个R到 的同态满射，则称R与 同态， 记为 R R R R R
4.4模n剩余类环 如果p是环R到的同态双射，则称φ为环R到 R的同构映射，此时，称R与R同构，记作 R兰R 当R=R时，上面的同态映射称为R的自同态映 射，同构映射称为R的自同构映射。 当R、为除环或域时，有同样定义
4.4 模n剩余类环 如果φ是环R到 的同态双射，则称φ为环R到 的同构映射，此时，称R与 同构，记作 当 时，上面的同态映射称为R的自同态映 射，同构映射称为R的自同构映射。 当R、 为除环或域时，有同样定义。 R R R R R R R= R
4.4模n剩余类环 定理：设R与R是各有两个代数运算的集合， 且R~R,则当R是环时，R也是一个环。 定理：设R与R是两个环，且R~F,则R的零 元的像是反的零元，R的元素a的负元的像是a的 像的负元；当R是交换环时，R也是交换环，当 R有单位元时，R也有，并且单位元的像是单位 元
4.4 模n剩余类环 定理：设R与 是各有两个代数运算的集合， 且 ，则当R是环时， 也是一个环。 定理：设R与 是两个环，且 ，则R的零 元的像是 的零元，R的元素a的负元的像是a的 像的负元；当R是交换环时， 也是交换环，当 R有单位元时， 也有，并且单位元的像是单位 元。 R R R R R R R R R R