法平面方程 [F,G) y,2) Mx☐o)O (F,G) (z,x) My%) F,G) (x,)M202o)☐0 也可表为 x口x0 ，2☐20 F(M)Fy(M)F2(M) ▣0 Gx(M)Gy(M)G2(M) HIGH EDUCATION PRESS 机动 目录 下负返回结束
也可表为 法平面方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求曲线x2口y2☐z2☐6，x☐y口z口0在点 M(1,-2,1)处的切线方程与法平面方程 解法1令F口x2☐y2☐z2,G☐x0y口z,则 (F,G) 2y 2z □2(y口z) ☐6； ■(y,z) M □(F,G) □0 口(F,G) ☐6 □(z,x) M □(x,y)M 切向量 7☐（☐6,0,6） x1 口z回2□0 切线方程 即 ▣6 6 y▣2▣0 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回结束
例2. 求曲线 在点 M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 切线方程 解法1 令 则 即 切向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束
法平面方程 □6(x☐1)☐0(y▣2)☐6(z☐1)▣0 即 x□z☐0 dy dz 解法2.方程组两边对x求导，得 d dx dy dz dx □x 解得 dy dz xy dx y Oz dx 曲线在点1，-2,1)处有 切向量 上☐(1,0，☐1) HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回结
法平面方程 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法2. 方程组两边对 x 求导, 得 曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: 切向量 解得
点M(1,-2,1)处的切向量 7☐(1,0,1) 切线方程 x1 ▣1 Qx口z口200 即 日yo20 法平面方程 1(x☐1)口0(y口2)☐(1)(zO1)▣0 即 x☐z▣0 HIGH EDUCATION PRESS 返回结束
切线方程 即 法平面方程 即 点 M (1,–2, 1) 处的切向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、曲面的切平面与法线 设有光滑曲面口：F(x,y,z)口0 通过其上定点M(x,0,zo)任意引一条光滑曲线 口：x口口(t),y口0(t),z□口(t),设t☐t0对应点M,且 口Qt,),口to),口t,)不全为0.则口在 点M的切向量为 7口(ao),口to),口to》 切线方程为 x口xony□yo 回(t,) (to) ▣(to) 下面证明：口上过点M的任何曲线在该点的切线都 在同一平面上.此平面称为口在该点的切平面 HIGH EDUCATION PRESS 下项 返回 结束
二、曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面 通过其上定点 对应点 M, 切线方程为 不全为0 . 则 在 且 点 M 的切向量为 任意引一条光滑曲线 下面证明: 此平面称为 在该点的切平面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都 在同一平面上