教 学基本指 标 教学课题第五章第一节向量及其运算 课的类型新知识课 教学重点向量的运算及坐标表示、方向角、投影 教学难点投影 教学要求 1.正确理解向量的概念。 2。熟练掌握向量加法及数与向量乘积的定义、运算规律 3.熟练堂捏向量加法及数与向量乘积的坐标表示： 4.熟记向量的模、方向角的计算公式，掌握向量在轴上的投影及其性质， 教 学基本内容 1、既有大小又有方向的物理量称为向量.在数学上可用有向线段来表示向量，其长度表示向 量的大小，其方向（箭头）表示向量的方向 向量的表示：以M,为起点，M,为终点的有向线段表示的向量记为M,可，有时也用一个 黑体字母（书写时，在字母上面加一箭头）来表示（见图5-1），如a或a. 向量的模：向量的大小（数学上有向线段的长度）叫做向量的模，记作a,M,M.模为1 的向量称为单位向量，记作.模为0的向量称为零向量，记作0.零向量的方向可以看作是任 意方向 向径：以原点O为始点，向一点M引向量OM,这个向量叫做点M对于点O的向径，记 作r,即r=O. 自由向量：只与大小、方向有关，而与起点无关的向量称为自由向量。 2、空间直角坐标系： 过空间一个定点O,作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且具有相同的长度单位，这 三条数轴分别称为x轴（横轴）、y轴（纵轴）入、：轴（竖轴）、统称坐标轴.其正向符合右手规则 这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系 设M,(:,片，)M2(:2,2,2)为空间两个点，通过M、M各作三个分别垂直于三条 坐标轴的平面，这六个平面组成一个以M,、M,为对角线的长方体，由此可得 d2=MM=(x-x+(3-y)+(3-)' d=MM=Vx-x)+(5-y)+(62-
1 教 学 基 本 指 标 教学课题 第五章 第一节 向量及其运算 课的类型 新知识课 教学重点 向量的运算及坐标表示、方向角、投影 教学难点 投影 教学要求 1. 正确理解向量的概念； 2. 熟练掌握向量加法及数与向量乘积的定义、运算规律； 3. 熟练掌握向量加法及数与向量乘积的坐标表示； 4. 熟记向量的模、方向角的计算公式，掌握向量在轴上的投影及其性质。 教 学 基 本 内 容 1、既有大小又有方向的物理量称为向量. 在数学上可用有向线段来表示向量，其长度表示向 量的大小，其方向（箭头）表示向量的方向. 向量的表示： 以 M1 为起点， M2 为终点的有向线段表示的向量记为 MM1 2 ，有时也用一个 黑体字母（书写时，在字母上面加一箭头）来表示（见图 5-1），如 a 或 a . 向量的模： 向量的大小（数学上有向线段的长度）叫做向量的模，记作 a ， M M1 2 .模为 1 的向量称为单位向量，记作 e . 模为 0 的向量称为零向量，记作 0 . 零向量的方向可以看作是任 意方向. 向径： 以原点 O 为始点，向一点 M 引向量 OM ，这个向量叫做点 M 对于点 O 的向径，记 作 r ，即 r = OM . 自由向量：只与大小、方向有关，而与起点无关的向量称为自由向量. 2、 空间直角坐标系： 过空间一个定点 O ，作三条互相垂直的数轴，它们都以 O 为原点且具有相同的长度单位，这 三条数轴分别称为 x 轴（横轴）、 y 轴（纵轴）、 z 轴（竖轴）、统称坐标轴. 其正向符合右手规则. 这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系. 设 M x y z 1 1 1 1 ( , , )、 M x y z 2 2 2 2 ( , , ) 为空间两个点，通过 M1 、 M2 各作三个分别垂直于三条 坐标轴的平面，这六个平面组成一个以 M1 、 M2 为对角线的长方体，由此可得 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 d M M x x y y z z = = − + − + − ， 即 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 d M M x x y y z z = = − + − + −
3、向量的夹角 将向量ā、的始点重合，在两向量的所在平面上，若一个向量逆时针方向转过角度0后可 与另一个向量正向重合，见图5-8，则称0为向量a、乃的夹角，记作(a,即 0=(a,=(a,a0s0s 4、向量的运算 以共起点向量a、方为平行四边形相邻两边，以ā向量的起点作为起点的其对角线表示的向 量为两个向量的和，记为a+b,见图5-14.以a向量的终点为起点，b向量的终点为终点的对 角线向量为向量的差记为a-万=ā+(-) 设2是一个数，向量a与数元的乘积2a规定为 当元>0时，2a表示一向量，其大小d=d,方向与a同向： 当元=0时，2a=0是零向量： 当入<0时，2a表示一向量，其大小d=-d,方向与a反向 特别地，当元=-1时，(-l)a=-a. 5、向量的模、方向角 设a为任意一个向量，又设a、B、y为与三坐标轴正向之间的夹角(0≤a,B,y<π)，见 图5-22，α，B,y分别为向量ā的方向角。由于向量坐标就是向量在坐标轴上的投影，故有 a,=acosa,a,acosB,a.=acosy, 其中cosa、cosB、cosy称为向量a的方向余弦，通常用它表示向量的方向 由模的定义，可知向量a的模为 同-属-x}+y-y+6-=匠++@ a cosy= a ta,+a 由此可得cos2a+cos2B+cos2y=1, 即任一向量的方向余弦的平方和为1
2 3、向量的夹角 将向量 a 、b 的始点重合，在两向量的所在平面上，若一个向量逆时针方向转过角度 后可 与另一个向量正向重合，见图 5-8， 则称 为向量 a 、b 的夹角，记作 a b, ，即 = = a b b a , , (0 π) ， 4、向量的运算 以共起点向量 a 、b 为平行四边形相邻两边，以 a 向量的起点作为起点的其对角线表示的向 量为两个向量的和，记为 a b + , 见图 5-14. 以 a 向量的终点为起点， b 向量的终点为终点的对 角线向量为向量的差. 记为 a b a b − = + −( ) . 设 是一个数，向量 a 与数 的乘积 a 规定为 当 0 时， a 表示一向量，其大小 a a = ，方向与 a 同向； 当 = 0 时， a = 0 是零向量； 当 0 时， a 表示一向量，其大小 a a = − ，方向与 a 反向. 特别地，当 =−1 时， (− = − 1) a a . 5、向量的模、方向角 设 a 为任意一个向量，又设 、 、 为与三坐标轴正向之间的夹角（ 0 , , π ），见 图 5-22， , , 分别为向量 a 的方向角. 由于向量坐标就是向量在坐标轴上的投影，故有 cos x a a = ， cos y a a = ， cos z a a = ， 其中 cos 、 cos 、cos 称为向量 a 的方向余弦，通常用它表示向量的方向. 由模的定义，可知向量 a 的模为 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 222 2 1 2 1 2 1 x y z a x x y y z z a a a = − + − + − = + + . 或 222 cos x x y z a aaa = + + ， 222 cos y x y z a aaa = + + ， 222 cos z x y z a aaa = + + ， 由此可得 2 2 2 cos cos cos 1 + + = ， 即任一向量的方向余弦的平方和为 1
ea= I(a.d.a.)-(cosa.cosp.cosy) a+aj+a
3 ( ) ( ) ( ) 222 1 1 e , , , , cos ,cos ,cos a x y z x y z x y z a a a a a a a a a aaa = = = = + +