华东师范大学：《数学分析》课程授课教案（第五版，讲义）第4章 函数的连续性

华师大数学分析（第五版）讲义第四章函数的连续性下面证明3(x}c[a,b]，使得lim f(x,)= M如果-0<M<+o0，根据上确界的定义，取n=1,2,…，则3x,e[a,b]，使得1M-≤f(x)≤Mn两边取极限，即得limf(x,）=M。如果M=+00，即f(x)无上界，取n=1,2,"，则3xE[a,b]，使得f(x,)>n显然有limf(x）=+oo又(x,)c[a,b]，(x,)有界，由致密性定理，(x,)有收敛子列，不妨假设就是它本身。于是设limx,=x，显然x[a,b]，再由f的连续性得lim f(x,)= f(xo)= M上式说明M必为有限数，就是f(x)在[a,b]上的最大值。同理可证，f(x)在[a,b]上有最小值。由最值定理立即得下面有界性定理。定理5(有界性定理）若f eC[a,b]，则在[a,b]上有界定理 6(根的存在定理）若f eC[a,b],且f(a)与f(b)异号(即f(a)F(b)<0),则至少存在一点x。E(a,b)，使得f(x)=0，即方程f(x)=0在(a,b)上至少有一个根这个定理的几何解释如下图所示：若点A(a,f(a))与B(b,f(b)分别在x轴的两侧，则连接A、B的连续曲线y=f(x）与x轴至少有一个交点.6中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第四章 函数的连续性 下面证明   [,] n   x a b ，使得 lim ( ) n n f x M   如果     M ，根据上确界的定义，取 n 1,2,，则 [,] n x  a b ，使得 1 ( ) M n fx M n    两边取极限，即得 lim ( ) n n f x M   。 如果 M   ，即 f ( ) x 无上界，取 n 1,2,，则 [,] n x  a b ，使得 ( ) n f x n  显然有 lim ( ) n n f x    又  [,] n x  a b ，xn 有界，由致密性定理，xn 有收敛子列，不妨假设就是它本身。 于是设 0 lim n n x x   ，显然 0 x [,] a b ，再由 f 的连续性得 0 lim ( ) ( ) n n f x fx M    上式说明 M 必为有限数，就是 f ( ) x 在[ , a b]上的最大值。 同理可证， f ( ) x 在[ , a b]上有最小值。 由最值定理立即得下面有界性定理。 定理 5 (有界性定理) 若 f C ab  ,  ，则 在f  ,ba 上有界． 定理 6(根的存在定理) 若 f C ab  ,  ，且 af 与 bf 异号(即    bfaf  0 )，则至 少存在一点 ，使得  ,bax0     xf 0  0，即方程 xf   0 在 ,ba 上至少有一个根． 这个定理的几何解释如下图所示：若点  , afaA 与  , bfbB 分别在 x 轴的两侧，则 连接 、A B 的连续曲线 与    xfy x 轴至少有一个交点． 中国矿业大学数学学院 6

华师大数学分析（第五版）讲义第四章函数的连续性AVf(b)fa证不妨设f(a)<0,f(b)>0。记E =(x| f(x)<0, xe[a,b])显然E≠Φ且E有界，记X= supEe[a,b]。首先证明x±a,b，即xe(a,b)。由f(a)<0,f(b)>0以及连续函数的局部保号性知，38>0，使得f(x)<0,xe[a,a+)和f(x)>0,xe(b-8,b)这说明x+a,b，即xE(a,b)。其次再证明f(x)=0。倘若f(x）+0，不妨设f(x）<0。再由局部保号性，U(xo,n)c(a,b)，使得f(x)<0, xeU(xo.n)n<0，因此x+eE，这与x=supE相矛盾。特别地22【注】如果f(x）=0，也称x是函数f的一个零点。因此，根的存在定理也称零点存在定理。定理 7 (介值性定理 1) 设f eC[a,bl,且f(a)+ f(b). 若μ为介于 f(a)与 f(b)之间的任何实数(f(a)<μ<f(b)或f(a)>μ>f(b))，则至少存在一点x。e(a,b)，使得f(xo)= μ.证令g(x)=f(x)-μ。由根的存在定理立即得证。7中国矿业大学数学学院

华师大数学分析(第五版)讲义 第四章 函数的连续性 证 不妨设 fa fb     0, 0 。记 E   x f x x ab | ( ) 0, [ , ] 显然 E   且 E 有界，记 0 x  sup [ , ] E ab  。 首先证明 0 x  a b, ，即 0 x (,) a b 。由 fa fb    0, 0    以及连续函数的局部保号性 知，   0 ，使得 f x x aa     0, [ , )  和 f  x xb    0, ( , ]  b 这说明 0 x  a b, ，即 0 x (,) a b 。. 其次再证明 xf 0   0 。倘若 f x 0   0 ，不妨设 f x 0   0 。再由局部保号性， 0 Ux a ( ,) (   , ) b ，使得 f x 0   0 ， 0 x Ux  ( ,)  特别地 0 0 2 f x          ，因此 0 2 x E    ，这与 0 x  sup E 相矛盾。 【注】如果 ，也称 0   xf 0  0 x 是函数 f 的一个零点。因此，根的存在定理也称零点 存在定理。 定理 7 (介值性定理 1) 设 f C ab  ,  ，且 af   bf ．若  为介于 与 之 间的任何实数   af   bf (     faf   b 或 af     bf )，则至少存在一点 ，使得 a, 0  bx    . xf 0   证 令 gx f x () ()    。由根的存在定理立即得证。 中国矿业大学数学学院 7