由(7)与(6，得到两个常微分方程： X"+X=0…(8) T"+a2T=0 X(0)=0,X(L)=0…(9) 前者是关于空间变量x的二阶常系数齐次微分方程，后者是关于时间变量的二阶常系 数齐次微分方程。前者带有两个条件。 在分离变量中，我们把前者称为固有值问题（或者本征值问题）。 (2)求解固有值问题（求出固有值与固有函数） (1)当入<0时： 方程(8)的通解为：X(x)=AeFx+BeFx 由条件(9)得到平凡解：X(x)三0
前者是关于空间变量x的二阶常系数齐次微分方程，后者是关于时间变量的二阶常系 数齐次微分方程。前者带有两个条件。 在分离变量中，我们把前者称为固有值问题(或者本征值问题)。 2 T a T 0 由(7)与(6)，得到两个常微分方程： 0 (8) (0) 0, ( ) 0 (9) X X X X L (2) 求解固有值问题(求出固有值与固有函数) (1) 当 0 时： 方程(8)的通解为： x x X x Ae Be 由条件(9)得到平凡解： X x( ) 0
2)当元=0时： X"+X=0…(8) 方程(8)的通解为：X=Ax+B X(0)=0,X(L)=0…(9) 由条件(9)得到平凡解：X(x)三0。 (3)当九>0时： 方程(8)的通解为：X(x)=Acos√几xr+Bsin√x 由条件(9)得到：A=0,Bsin√元L=0 B不能等于零，否则得到平凡解。于是有：sin√几L=0 从而得到春平凡解对应的入值：又="…切=2,3
0 (8) (0) 0, ( ) 0 (9) X X X X L (2) 当 时： 方程(8)的通解为： 由条件(9)得到平凡解： X x( ) 0 。 0 X Ax B (3) 当 0 时： 方程(8)的通解为： X(x) Acos x Bsin x 由条件(9)得到： A 0,Bsin L 0 B不能等于零，否则得到平凡解。于是有： sin L 0 从而得到非平凡解对应的λ值： 2 2 2 ( 1,2,3 ) n n n L
在分离变量求解中，对应于固有值问题非平凡解的参数值称为固有值。 对于每个固有值，对应的非平凡解称为固有函数。本例题中固有函数为： X (x)=B sin nrx.(00) 注：分离变量的核心问题是能够构建和求解固有值问题（本征值问题）】 (3)求解另一个常微分方程 对于常微分方程：T”+1aT=0(11)来说，对每个固有值，可求出通解为： ()-C.cosD,sin) nπat nπat
在分离变量求解中，对应于固有値问题非平凡解的参数值称为固有值。 对于每个固有值，对应的非平凡解称为固有函数。本例题中固有函数为： ( ) sin (10) n n n x X x B L 注：分离变量的核心问题是能够构建和求解固有值问题(本征值问题)！ (3) 求解另一个常微分方程 对于常微分方程： 来说，对每个固有值，可求出通解为： 2 T a T 0 (11) ( ) cos sin (12) n n n n at n at T t C D L L
(④求一般解 把(10)、(12)代入(4)得： u(x)=T (t)(x)=(C cos at+D,sinuzat)s nnπx..(13) -)sin L 称(13)为定解问题固有解（本征解）。 将所有固有解叠加： πx sin- .(14) L 称(14)为定解问题一般解。 注：历史上，伯努利，欧拉等完成了上面的计算。但要通过初始条件确定一般解中系 数，受到当时数学知识的限制，在较长时间里，一筹莫展！
把(10)、(12)代入(4)得： 称(13)为定解问题固有解(本征解)。 将所有固有解叠加： 称(14)为定解问题一般解。 u (x,t) T (t)X (x) n n n ( cos sin )sin (13) n n n at n at n x C D L L L 1 , cos sin sin (14) n n n n at n at n x u x t C D L L L (4) 求一般解 注：历史上，伯努利，欧拉等完成了上面的计算。但要通过初始条件确定一般解中系 数，受到当时数学知识的限制，在较长时间里，一筹莫展！
突然在某日，他们看到了一个名不见经传的年轻人论文，这就是今天看来大 名鼎鼎的傅里叶级数展开，从此彻底解决了该定解问题求解。分离变量方法 宣告成功！ (⑤)求定解（定解问题的最终解） 4m=au,(0<x<L,t>0)…() 将初始条件(3)代入一般解得到： 4x-o=0,ux-L=0…(2） x0)=()-2csm"705 40=p(x),4,lo=y(x(3) ux,0)=w()=2D,"Z nrd sin nax.…(16) =1 等式(15)与(16)分别相当于把已知函数p(x),少(x)在[0，L]上按正弦傅里叶级数 展开！所以： C.=2o(传)sin"a5 n=waJw()sin”d
将初始条件(3)代入一般解得到： 突然在某日，他们看到了一个名不见经传的年轻人论文，这就是今天看来大 名鼎鼎的傅里叶级数展开，从此彻底解决了该定解问题求解。分离变量方法 宣告成功！ (5) 求定解(定解问题的最终解) 2 0 0 0 , 0 , 0 (1) 0, 0 (2) , (3) tt xx x x L t t t u a u x L t u u u x u x 1 ( ,0) ( ) sin (15) n n n x u x x C L 1 ( ,0) ( ) sin (16) t n n n a n x u x x D L L 等式(15)与(16)分别相当于把已知函数 在[0，L]上按正弦傅里叶级数 展开！所以： ( ), ( ) x x 0 2 sin L n n C d L L 0 2 sin L n n D d n a L