2.数量积符合下列运算规律a.b=b.a(可用定义证)（1）交换律：(a+b).c=a.c+b.c（2）分配律：(3）若a为数:(aa)·b=a.(ab)=a(a.b)若 α μ为数:(aa)·(μub)=μu(a.b)(4)a.a=a.此外 a.a=0台a=0
2. 数量积符合下列运算规律 （1）交换律： a b b a = （2）分配律： a b c a c b c ( + ) = + （3）若 为数: a b = ( ) 若 、 为数: ( a)( b) = (可用定义证) (4) | | . 2 aa = a a = 0 a ( b) = (a b) (a b) 此外 a a = 0
之用向量的数量积，证明恒等式la++la-b=2la+2l即,平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和(如图).-a+b证la+b+la-ba-ba=(a+ b)·(a+b)+(a-b).(a-b)=a.a+2a.b+b.b+a.a-2a.b+b.b= 2[a2 +2|b /
用向量的数量积,证明恒等式: 即,平行四边形对角线的平方和等于四边的平方 和(如图). 证 2 2 2 2 | a b | | a b | 2 | a | 2 | b | + + − = + 2 2 | a b | | a b | + + − (a b) (a b) (a b) (a b) = + + + − − a a a b b b a a a b b b = + 2 + + − 2 + 2 2 2 | a | 2 | b | = + a b a b + a b −
3.用坐标表示式计算数量积设a=ai+a,j+ak,b=bi+b,j+bka.b=(ai+a,j+a,k).(bi+b,j+b,k).iljlk.i.i=j.k=k.i=0分配律:i=l ik=1..i.i=i.i=k.k=la.b=a.b+a,b,+a,b数量积的坐标表达式
a a i a j a k, x y z = + + b bx i by j bzk 设 = + + a b = (a i a j a k) x y z + + (b i b j b k) x y z + + i j k ⊥ ⊥ i j = j k = k i = 0 | i |=| j |=| k |= 1 i i = j j = k k = 1 x x y y z z a b = a b + a b + a b 数量积的坐标表达式 3. 用坐标表示式计算数量积 分 配 律
4.两向量的夹角（数量积在几何中的应用）a.ba.b=alblcoso =→cos0[allb两向量夹角a.b,+a,b,+a,bcos =余弦的坐标+a,+a,b+b,+b表示式由此可知两向量垂直的充要条件为alb<←= a,bx +a,b, +a,b, =0数量积的物理意义为力F推动质点从点A沿直线运动到点B所作的功W=F×AB（即实例
a b | a || b | cos = | || | cos a b a b = 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + + = 两向量夹角 余弦的坐标 表示式 a⊥b axbx + ayby + azbz = 0 由此可知两向量垂直的充要条件为 4. 两向量的夹角 (数量积在几何中的应用) 数量积的物理意义为 F 力 推动质点从点A 沿直线运动到点B所作的功 W F AB = (即实例)
例1 已知 a=(1,1,-4), b =(1,-2,2),求(1)a.b；(2)a与b的夹角；(3)a在b上的投影解 (1) a.b = 1·1+1.(-2)+(-4)·2 = -9.a,bx+a,b,+a,b,(2) cos =b?+b,?+bax+a,+a,13元~24a.b-3(3) a.b=biPrja :Prja1b1
解 a b ( 1 ) = 11+1(−2) + (−4) 2 = −9. (2) cos = , 21 = − . 43 = a b b j ab Pr (3) =| | 3. | | Pr = − = ba b j ab 例 1 求 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + + 已知 a b = − = − (1,1, 4), (1, 2, 2), (1) ; a b (2) a 与 b 的夹角； (3) a 在 b 上的投影