《高等数学》课程教学资源（补充与提高）第十一讲 曲线曲面积分

∬fcys=∬0，yV++xt (V)应用 (1)计算曲面面积：S=小必 (2)计算曲面的质量：M=x,y,)d达，其中p(x,y,)为曲面S在(x,y,)处 的面密度。 (3)计算曲面的重心(G,y,) =川xh.=x地.=立达 (4)计算曲面的转动惯量： 1=j川0y2+:2)px,y)d,1,=j∬(x2+2)px,y=)d, 1.=∬(x2+y2)px,y=)d,10=川x2+y2+2)px,z) (5)类似三重积分计算曲面对质点的引力。 4、第二型曲面积分（对坐标的曲面积分） (I)定义设P(x,y,)、Q(x,y,)、R(x八，)是定义在有向曲面Σ上的函数，记 F={P,2,R,i={cosa,cosB,cosy}为有向曲面Σ指定一侧在(x,y,=)处的单位 法矢量。若厂F.冰存在，则称它为矢量函数F(或函数组P,Q,R)在有向曲面习 上的第二型曲面积分。记cosads=dd止，cos=dkd，cos=d,分别表示曲 面d在o:面、or面、x0y面上的有向投影，则可记 [[F.nids=[(Pcosa+QcosB+Rcosy)ds=[Pdyd+Qddx+Rdxdy 因此，第二型曲面积分也称为对坐标的曲面积分。 (Ⅱ)可积性若P(x,y,=)、Q(x,y,)、R(x,y,)在光滑有向曲面Σ上连续，则 川Pddt+Qtd+Rd存在。 (Ⅲ)性质 (1)若记(-Σ)是Σ相反的一侧的有向曲面，则

42  S f (x, y,z)dS = f x y z y z x x dydz Dyz  + y + z 2 2 [ ( , ), , ] 1 （Ⅴ）应用 （1）计算曲面面积：  = S S ds （2）计算曲面的质量：  = S M (x, y,z)ds ，其中 (x, y,z) 为曲面 S 在 (x, y,z) 处 的面密度。 （3）计算曲面的重心 (x, y,z) :  = S x x y z ds M x ( , , ) 1  ,  = S y x y z ds M y ( , , ) 1  ,  = S z x y z ds M z ( , , ) 1  （4）计算曲面的转动惯量：  = + S I x (y z ) (x, y,z)ds 2 2  ,  = + S I y (x z ) (x, y,z)ds 2 2  ,  = + S I z (x y ) (x, y,z)ds 2 2  ,  = + + S I (x y z ) (x, y,z)ds 2 2 2 0  . （5）类似三重积分计算曲面对质点的引力。 4、第二型曲面积分（对坐标的曲面积分） （Ⅰ）定义 设 P(x, y,z) 、Q(x, y,z)、 R(x, y,z) 是定义在有向曲面  上的函数，记 F = {P,Q, R}  , n = {cos,cos ,cos }  为有向曲面  指定一侧在 (x, y,z) 处的单位 法矢量。 若   F  nds   存在，则称它为矢量函数 F  （或函数组 P,Q, R ）在有向曲面  上的第二型曲面积分。记 cosds = dydz, cos ds = dzdx ,cosds = dxdy ,分别表示曲 面 ds 在 yoz 面、 zox 面、 xoy 面上的有向投影，则可记   F  nds   =   (Pcos + Qcos  + Rcos )ds =   Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 因此，第二型曲面积分也称为对坐标的曲面积分。 （Ⅱ）可积性 若 P(x, y,z) 、Q(x, y,z)、 R(x, y,z) 在光滑有向曲面  上连续，则   Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 存在。 （Ⅲ）性质 (1) 若记（-  ）是  相反的一侧的有向曲面，则

∬Pt+Qtk+Rh=-∬Pdt+Otk+Rd (2)若有向曲面Σ由Σ，和Σ，两部分组成，则 f∬Pdd+Qd-dx+Rkd =j∬Pdt+Qd-dx+R+j∬Pt+Qd-dx+Rkdy )小(a+-id=a∬F.id+pG-id,其中a,B为常数。 (4)当有向曲面Σ垂直于xoy面时川Rky=O: 当有向曲面Σ垂直于oz面时[P小k=0: 当有向曲面Σ垂直于ox面时川Qdk=0: 当有向曲面Σ平行于xoy面时「Pd止=「Qdk=0: 当有向曲面Σ平行于oz面时[Rky=Q本=0： 当有向曲面平行于ox面时Rtd=厂Pt=0: (N)计算法则 (I)由「P小t+Qk+Rk=「Pd止+「Q止dk+「Rkd,再将右式三个积分 分别化为二重积分计算。 1°设有向曲面Σ由方程：=(x,y)给出，工在xOy面上的投影区域为D,则有 ∬Rxy=±∬x,y(xkd D 当左端有向曲面Σ取上侧时，右端积分应取“+”号： 当左端有向曲面Σ取下侧时，右端积分应取“.”号： 2°设有向曲面Σ由方程y=(x,)给出，在x0面上的投影区域为D,则有 川0(x,y,)dd=±∬x,(x,btd 当左岩有向曲面Σ取右侧时，右瑞积分应取“+”号： 当左端有向曲面Σ取左侧时，右端积分应取“”号： 3°设有向曲面由方程x=x(y,)给出，Σ在o:面上的投影区域为D=,则 43

43  − Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =   − Pdydz + Qdzdx + Rdxdy (2) 若有向曲面  由 1 和 2 两部分组成，则   Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =   + + 1 Pdydz Qdzdx Rdxdy +   + + 2 Pdydz Qdzdx Rdxdy (3)   F + G  nds    (  ) =   F  nds    +   G  nds    ，其中 ,  为常数。 (4) 当有向曲面  垂直于 xoy 面时   Rdxdy = 0 ； 当有向曲面  垂直于 yoz 面时   Pdydz = 0 ； 当有向曲面  垂直于 zox 面时   Qdzdx = 0 ； 当有向曲面  平行于 xoy 面时   Pdydz =   Qdzdx = 0 ； 当有向曲面  平行于 yoz 面时   Rdxdy =   Qdzdx = 0 ； 当有向曲面  平行于 zox 面时   Rdxdy =   Pdydz = 0 ； （Ⅳ）计算法则 （1）由   Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =   Pdydz +   Qdzdx +   Rdxdy ,再将右式三个积分 分别化为二重积分计算。 0 1 设有向曲面  由方程 z = z(x, y) 给出，  在 xoy 面上的投影区域为 Dxy ，则有 =   R(x, y,z)dxdy   Dxy R[x, y,z(x, y)]dxdy 当左端有向曲面  取上侧时，右端积分应取“+”号； 当左端有向曲面  取下侧时，右端积分应取“-”号； 0 2 设有向曲面  由方程 y = y(x,z) 给出，  在 xoz 面上的投影区域为 Dxz ，则有 =   Q(x, y,z)dzdx   Dzx Q[x, y(x,z),z]dzdx 当左端有向曲面  取右侧时，右端积分应取“+”号； 当左端有向曲面  取左侧时，右端积分应取“-”号； 0 3 设有向曲面  由方程 x = x( y,z) 给出，  在 yoz 面上的投影区域为 Dyz ，则

丁Px,ytd=±j∬PLxy,y,dt 当左端有向曲面Σ取前侧时，右端积分应取“+”号： 当左端有向曲面Σ取后侧时，右端积分应取“.”号： (2)由j∬Pdt+Otdk+Rky=j∬(Pcosa+QcosB+Rcosy)d达=j∬F.id 可先求出有向曲面Σ的单位法矢量，求出F,再按第一型曲面积分的计算方法 化为一个二重积分求之。 (V)两类曲面积分的联系 J∬Pdt+Od-dk+Rkd=j∬(Pcosa+QcosB+Rcosy)d 其中{cosa,cosB,cos}是有向曲面Σ在点(x,y,:)处的单位法线矢量。 (M)高斯(Gauss)公式设函数P(x,y,)、(x,y,)、R(x,y,)在空间有界闭区 域Ω上有一阶连续偏导数，Σ是2的分片光滑边界曲面外侧，则有 月+0点+陆叮装号+a (I)斯托克斯(Stokes)公式设有向分段光滑闭曲线L是有向曲面Σ的边界，且L的 方向与Σ的法矢量符合右手法则，函数P,Q,R在Σ（包括边界）上有连续偏导数 则 cosa cos B cosy t 0 ,Pdt+Q+Rt=川 R R (Ⅷ)空间曲线积分与路径无关的条件 设Q是空间单连通域，函数P,Q,R在Q内有一阶连续偏导数，则下列四条件互相 等价 1)在2内每点已 =0 R (2)对2内任一分段光滑曲线L,有∫P++Rt与路径无关，只与L的起

44 =   P(x, y,z)dzdx   Dyz P[x(y,z), y,z]dydz 当左端有向曲面  取前侧时，右端积分应取“+”号； 当左端有向曲面  取后侧时，右端积分应取“-”号； （2） 由   Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =   (Pcos + Qcos  + Rcos )ds =   F  nds   可先求出有向曲面  的单位法矢量 n  ，求出 F n    ，再按第一型曲面积分的计算方法 化为一个二重积分求之。 （Ⅴ）两类曲面积分的联系   Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =   (Pcos + Qcos  + Rcos )ds 其中 {cos,cos ,cos} 是有向曲面  在点 (x, y,z) 处的单位法线矢量。 （Ⅵ）高斯（Gauss）公式 设函数 P(x, y,z) 、Q(x, y,z)、 R(x, y,z) 在空间有界闭区 域  上有一阶连续偏导数，  是  的分片光滑边界曲面外侧，则有   Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = dxdydz z R y Q x P     +   +   ( ) （Ⅶ） 斯托克斯(Stokes)公式 设有向分段光滑闭曲线 L 是有向曲面  的边界，且 L 的 方向与  的法矢量符合右手法则，函数 P,Q, R 在  （包括边界）上有连续偏导数， 则  + + L Pdx Qdy Rdz = ds P Q R x y z         cos cos  cos =         P Q R x y z dydz dzdx dxdy （Ⅷ）空间曲线积分与路径无关的条件 设  是空间单连通域，函数 P,Q, R 在  内有一阶连续偏导数，则下列四条件互相 等价： （1）在  内每点 = 0       P Q R x y z i j k    （2）对  内任一分段光滑曲线 L，有  + + L Pdx Qdy Rdz 与路径无关，只与 L 的起

点和终点有关。 (3)对2内任何分段光滑闭曲线有f,Pd+Q+R证=0 (4)在2内存在u(x,y,),使du=Pdk+Q+Rt,且 x,y)=jP+Q+Rt+C,其中(，)为Q内任意一定 点，C为任意常数。 5、场论初 (I)梯度、散度、旋度 ()数量场的梯度 设函数（数量场）M=(x,八，)具有一阶连续偏导数，则称矢量 为Hamiltion算子（读作“nable”)。 (2)矢量场的散度与旋度 设矢量场F=Px,八，)i+Q(x,八，)j+R(x,y,=)k的各分量有一阶连续偏导数， 则称数量dhF-P+卫+那-F为矢量场F的散度. ax+a+正 j 称矢量rolF= =V×F为矢量场F的旋度。 R (Ⅱ)高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes))公式的矢量形式 (1)高斯公式 月F.d达=川dF,其中F的各分量在空间闭区域2上有一阶 连续偏导数，Σ是Q的边界曲面外侧。 (2)斯托克斯公式于F,=厂(V×F)d。其中有向曲线L是有向曲面2的边 界且L的方向与Σ的法矢量方向符合右手法则，F的分量在UL上有一阶连续偏 导数。 (m)几个重要的场 (1)有势场：设F={P,Q,为空间区域内的矢量场。若在Q内存在数量函数

45 点和终点有关。 （3）对  内任何分段光滑闭曲线 L，有  + + L Pdx Qdy Rdz =0 （4）在  内存在 u(x, y,z) ，使 du = Pdx + Qdy + Rdz ，且  = + + + ( , , ) ( , , ) 0 0 0 ( , , ) x y z x y z u x y z Pdx Qdy Rdz C ，其中 ( , , ) 0 0 0 x y z 为  内任意一定 点,C 为任意常数。 *5、场论初步 （Ⅰ）梯度、散度、旋度 (1) 数量场的梯度 设函数（数量场） u = u(x, y,z) 具有一阶连续偏导数，则称矢量 k u z u j y u i x u gradu =    +   +   =    为数量场 u 的梯度。称 =    +   +   k z j y i x    为 Hamiltion 算子（读作“nable”）。 （2）矢量场的散度与旋度 设矢量场 F P x y z i Q x y z j R x y z k     = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 的各分量有一阶连续偏导数， 则称数量 F z R y Q x P divF   =    +   +   = 为矢量场 F  的散度。 称矢量 rotF =  F P Q R x y z i j k     =         为矢量场 F  的旋度。 （Ⅱ）高斯（Gauss）公式、斯托克斯(Stokes)公式的矢量形式 （1）高斯公式     F  nds = divFdv    ，其中 F  的各分量在空间闭区域  上有一阶 连续偏导数，  是  的边界曲面外侧。 （2）斯托克斯公式     =   L F dr F nds     ( ) 。其中有向曲线 L 是有向曲面  的边 界且 L 的方向与  的法矢量方向符合右手法则， F  的分量在  L 上有一阶连续偏 导数。 （Ⅲ）几个重要的场 （1）有势场：设 F = {P,Q, R}  为空间区域  内的矢量场。若在  内存在数量函数

(x,y,),使F=gradu,则称F为有势场或梯度场，且称(x,y,)为矢量场F的 势函数。若矢量场F的旋度为零，即OF=0,则称F为无旋场。若在2内曲线 积分∫，F,F只与曲线L的起点和终点有关，而与路径无关，则称矢量场F为保守 场。 定理：设2是空间单连通域，F={P,Q,R的分量在Q内有一阶连续偏导数，则以 下五个条件互相等价： 1°F为无旋场： 2户为保守场： 3”手，F.=0,其中L是2内任意逐段光滑闭曲线： 4F为有势场，即存在势函数u(x,y,=),使gradu=F 5F.而=Pk+Q+R止是某函数的全微分，即存在原函数(x,y,),使 du=Pdk+Q+R。 其中4、5的势函数（原函数）(x,y,)的表达式为 xx小一，P+Q+陆+C,其中化)是n内任意取定的 点，C为任意常数。 (2)管形场：若矢量场F的散度恒为0，即F=0,则称矢量场F为无源场或管形场。 (3)调和场：若矢量场F既是有势场又是管形场，即存在势函数(x,y,=)使F=grad 且dF=0,则称矢量场下为调和场。 定理：调和场F的势函数(x,y,:)满足拉普拉斯(Laplace)方程△1=0， 曾是-0种是茶+是不 82 四、思考题 1、两类曲线积分间有什么关系？

46 u(x, y,z) ，使 F = gradu  ，则称 F  为有势场或梯度场，且称 u(x, y,z) 为矢量场 F  的 势函数。若矢量场 F  的旋度为零，即 rotF = 0  ，则称 F  为无旋场。若在  内曲线 积分   L F dr   只与曲线 L 的起点和终点有关，而与路径无关，则称矢量场 F  为保守 场。 定理：设  是空间单连通域， F = {P,Q, R}  的分量在  内有一阶连续偏导数，则以 下五个条件互相等价： 1 0 F  为无旋场； 2 0 F  为保守场； 3 0   = L F dr 0   ，其中 L 是  内任意逐段光滑闭曲线； 4 0 F  为有势场，即存在势函数 u(x, y,z) ，使 gradu F  = ； 5 0 F  dr = Pdx + Qdy + Rdz   是某函数的全微分，即存在原函数 u(x, y,z) ，使 du = Pdx + Qdy + Rdz 。 其中 4 0、5 0 的势函数（原函数） u(x, y,z) 的表达式为  = + + + ( , , ) ( , , ) 0 0 0 ( , , ) x y z x y z u x y z Pdx Qdy Rdz C ，其中 ( , , ) 0 0 0 x y z 是  内任意取定的一 点，C 为任意常数。 （2）管形场：若矢量场 F  的散度恒为 0，即 divF = 0  ，则称矢量场 F  为无源场或管形场。 （3）调和场： 若矢量场 F  既是有势场又是管形场，即存在势函数 u(x, y,z) 使 F = gradu  且 divF = 0  ，则称矢量场 F  为调和场。 定理：调和场 F  的势函数 u(x, y,z) 满足拉普拉斯（Laplace）方程 u = 0， 即 0 2 2 2 2 2 2 =   +   +   z u y u x u ，其中 2 2 2 2 2 2 x y z  +   +    = 称为拉普拉斯算子。 四 、思考题 1、两类曲线积分间有什么关系？