浙江科技学院Zhejiang University of Science and Technology第二章解析函数结运回、束
结 束 返回 Zhejiang University of Science and Technology 浙江科技学院 1 第二章 解析函数
第二章解析函数第2页82.1解析函数的概念1复变函数的导数定义：i函数w= f(z),z E D; zo,Zo +△z E D△wf(zo + △z) - f(zo)极限 limlimz-0△zAz->0z存在,则就说f(z)在 zo可导，此极限值就称为f ()在zo的dw导数，记作 '(zo)或dzZ=Z0应该注意：上述定义中△z>O的方式是任意的。结oooaoe2返回束
结 束 返回 第二章 解析函数 第2页 2 §2.1 解析函数的概念 函数w = f (z),z D; 1 复变函数的导数 定义： z0 ,z0 + z D = → z w z 0 极限 lim z f z z f z z + − → ( ) ( ) lim 0 0 0 存在, 则就说f (z)在 z0可导, 此极限值就称为f (z)在 z0 的 导数，记作 0 0 ( ) . z z dw f z dz = 或 应该注意：上述定义中 →z 0 的方式是任意的
第二章解析函数第3页容易证明：可导可微；可导 连续。如果,f(z)在区域D内处处可导,就说f(z)在D内可导例1 求f(z)=z2的导数。(z+△z)2-z2f(z+△z)-f(2) = limlim解：因为△z△z>0△z△z0= lim (2z+△z)= 2z.△z>0所以f(z)=2z.（即f(z)=z2在复平面处处可导。）结3返回束
结 束 返回 第二章 解析函数 第3页 3 容易证明： 可导 可微 ；可导 连续。 如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在Ｄ内可导. 例1 求 f (z) = z 2的导数。 解: 因为 Δ 0 ( Δ ) ( ) lim z Δ f z z f z → z + − 2 2 Δ 0 ( Δ ) lim z Δ z z z → z + − = Δ 0 lim (2 Δ ) 2 . z z z z → = + = 所以 f '(z) = 2z .（即f (z) = z 2在复平面处处可导。）
第二章解析函数第4页求导法则与实函数同样的办法可得1)(c)=0,其中c为复常数2)(zn)=nzn-1,其中n为正整数3) [f(z)±g(z)]'=f'(z)g (2)4) [f(z)g(z)1=f(z)g(z)+f(z)g(z)1f(2)5)g(z) f'(z) - f(z)g'(z)l, g(z) ± 0-g(2)g(z)6) ([g(z)])'=f'(w)g(2), 其中w=g(z),11其中w= f(z)与z=p(w)是两7).f'(2) :p'(w)个互为反函数的单值函数,且β(w)≠0结oogO0返回束
结 束 返回 第二章 解析函数 第4页 4 求导法则 与实函数同样的办法可得: 1) (c)'=0, 其中c为复常数. 2) (z n )'=nzn−1 , 其中n为正整数. 3) [f(z)g(z)]'=f '(z)g'(z). 4) [f(z)g(z)]'=f '(z)g(z)+f(z)g'(z). [ ( ) ( ) ( ) ( )], ( ) 0 ( ) 1 ( ) ( ) 5) 2 = − g z f z f z g z g z g z g z f z , ( ) 0. , ( ) ( ) ( ) 1 7) ( ) = = = w w f z z w w f z 个互为反函数的单值函数 且 其中 与 是两 6) {f[g(z)]}'=f '(w)g'(z), 其中w=g(z)
第二章解析函数第5页例2问f(z)=x +2yi是否可导?f(z+△z)- f(z)解：这里limAz-0z(x +△x)+2(y+ △y)i - x - 2yi= lim△z->0Ax + AyiAx + 2Ayilim-Az>0Ax + AyiAxAx + 2△yi:lim=1取△z= △x →>0, limAz-0-0 △xAx + Ayi结5ooe返回束
结 束 返回 第二章 解析函数 第5页 5 例2 问 f (z) = x +2yi 是否可导? 解： 这里 0 ( ) ( ) lim z f z z f z z → + − 0 ( ) 2( ) 2 limz x x y y i x yi x yi → + + + − − = + 0 2 lim z x yi x yi → + = + 取 = → z x 0 , 0 0 2 lim lim 1. z z x yi x → → x yi x + = = +